Question

Найдите общие касательные к графикам функций f(x) = x2-4x+3 и g(x) = -x2+6x-10

Answer 1

Прямая является касательной к параболе тогда и только тогда,

когда кв. уравнение имеет 1 решение.

Касательная Y=kx+b

Уравнения

x^2-4x+3=kx+b

и

-x^2+6x-10=kx+b

имеют каждое одно решение

x^2-x(4+k)+3-b=0

и

x^2+x(k-6)+b+10=0

Приравниваем оба дискриминанта к нулю

D1=(4+k)^2-4(3-b))=k^2+8k+4b+4=0

D2=(k-6)^2-4(b+10)=k^2-12k-4b-4=0

Складываем

2k^2-4k=0

2k(k-2)=0

k1=0; b1= - 1;

k2=2; b2= -6;

Касательные (две) :  

y= - 1

y=2x - 6.

Answer 2

Чтобы найти общие касательные к графикам функций $f(x) = x^2 - 4x + 3$ и $g(x) = -x^2 + 6x - 10$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производные $f'(x)$ и $g'(x)$.
2. Найдите точки пересечения $f(x)$ и $g(x)$, то есть значения $x$, при которых $f(x) = g(x)$.
3. Для каждой точки пересечения найдите значение производной $f'(x)$ и $g'(x)$.
4. Постройте уравнения прямых, которые проходят через точки касания с графиками функций и имеют найденные значения производных.

Шаг 1: Вычислим производные функций $f(x)$ и $g(x)$:

$f'(x) = 2x - 4$

$g'(x) = -2x + 6$

Шаг 2: Найдем точки пересечения $f(x)$ и $g(x)$, приравнивая их:

$f(x) = g(x)$

$x^2 - 4x + 3 = -x^2 + 6x - 10$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 + x^2 - 4x - 6x + 3 + 10 = 0$

$2x^2 - 10x + 13 = 0$

Это квадратное уравнение не имеет вещественных корней, так как дискриминант отрицателен ($D = (-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 13 = -36$). Это означает, что графики функций $f(x)$ и $g(x)$ не пересекаются на вещественных числах.

Шаг 3 и 4: Так как у нас нет точек пересечения, общих касательных к этим функциям нет. Графики данных функций не пересекаются и не имеют общих касательных на вещественных числах.