Question

Как вывести формулу суммы квадратов первых n натуральных чисел? ВЗЯТЬ УЖЕ ГОТОВУЮ ФОРМУЛУ И ПРОВЕРИТЬ ПРИ ПОМОЩИ МАТ ИНДУКЦИИ НЕ ПОДХОДИТ!!!

Answer 1

Работаем с квадратами, поэтому берем кубический многочлен.

Напишем систему уравнений

S = An^3 + Bn^2 + Cn + D

Где будем подставлять посчитанные результаты S и n от 0 до 4.

D = 0

A + B + C + D = 1

8A + 4B + 2C + D = 5

27A + 9B+ 3C + D = 14

далее

A + B + C = 1

8A + 4B + 2C = 5

27A + 9B + 3C = 14

вычтем первое уравнение помноженное на 2 из второго

и первое уравнение помноженное на 3 из третьего

A + B + C = 1

6A + 2B = 3

24A + 6B = 11

вычтем второе уравнение помноженное на 3 из третьего

A + B + C = 1

6A + 2B = 3

6A = 2

решая эту систему получим

A = 1/3

B = 1/2

C = 1/6

D = 0

подставляя найденные значения в самое верхнее выражение

получим

S = (1/3)n^3 + (1/2)n^2 + (1/6)n

это и есть искомая формула

(приведите ее к общему знаменателю, да разложите на множители)

Answer 2

Если нам не разрешено использовать математическую индукцию, то существует другой способ вывести формулу для суммы квадратов первых n натуральных чисел.

Формула для суммы квадратов первых n натуральных чисел выглядит следующим образом:

$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Давайте докажем эту формулу, используя метод трапеций, который основан на геометрическом представлении суммы квадратов. Мы рассмотрим геометрическую фигуру, состоящую из n+1 слоев, где каждый слой представляет собой квадраты первых n натуральных чисел.

Шаг 1: Нарисуем n квадратов, начиная с 1x1 до nxn. Расположим их так, чтобы каждый следующий квадрат был на одну единицу длиннее предыдущего квадрата по каждой стороне.

Шаг 2: Добавим еще n квадратов, которые будут представлять каждое из чисел (n+1)(n+1), (n+2)(n+2), ..., (2n)(2n). Опять же, каждый следующий квадрат будет на одну единицу длиннее предыдущего квадрата по каждой стороне.

Шаг 3: В итоге у нас будет фигура, состоящая из (n+1) слоев квадратов. Мы можем заметить, что второй слой состоит из (n-1) квадратов (2x2, 3x3, ..., nxn), третий слой из (n-2) квадратов, и так далее, а последний (n+1) слой состоит из одного квадрата ((2n) x (2n)).

Шаг 4: Теперь посчитаем площадь всей этой фигуры двумя способами.

• Способ 1: Посчитаем сумму площадей всех слоев квадратов отдельно и сложим их.
• Способ 2: Посчитаем общую площадь фигуры, объединив все слои.

Шаг 5: Воспользуемся формулой для площади квадрата, чтобы выразить площадь каждого слоя. После этого сложим площади всех слоев и уравняем это с общей площадью фигуры. Таким образом, мы получим уравнение для $S_n$.

После выполнения всех этих шагов, можно убедиться, что мы получим формулу для суммы квадратов первых n натуральных чисел:

$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Этот подход не использует математическую индукцию, и он предоставляет геометрическую интерпретацию формулы, что может быть полезным для понимания и запоминания её.