Question

Розкладіть вираз (x^4+2x^2)^2+8(x^4+2x^2)+16-x^4 на: а) два; б) три; в) чотири множники, відмінні від констант.

Answer 1

(x^4+2x^2)^2+8(x^4+2x^2)+16-x^4 = (x^4+2x^2)^2+2*4*(x^4+2x^2)+4^2-x^4 =

(x^4+2x^2+4)^2-(x^2)^2 = (x^4 + 2x^2 + 4 - x^2)(x^4 + 2 x^2 + 4 + x^2)

= (x^4 + x^2 + 4)(x^4 + 3x^2 + 4) (a)

= (x^4 + x^2 + 4)(x^4 + 4x^2 + 4 - x^2) = (x^4 + x^2 +4)((x^2+2)^2 - x^2) =

= (x^4 + x^2 + 4)(x^2 + 2 - x)(x^2 +2 + x) (б)

= (x^4 + 4x^2 + 4 - 3x^2)(x^2 + 2 - x)(x^2 +2 + x) = ((x^2+2)^2 - (√3x)²) =

=(x^2 - √3x + 2)(x^2 + √3x + 2)(x^2 -x + 2)(x^2 + x + 2) (в)

Answer 2

Здесь все по формулам сокращенного умножения.

a)

$(x^4+2x^2)^2+8(x^4+2x^2)+16-x^4=(x^4+2x^2+4)^2-x^4=\\ \\ =(x^4+2x^2+4+x^2)(x^4+2x^2+4-x^2)=(x^4+3x^2+4)(x^4+x^2+4)$

б)

$\left(x^4+3x^2+4\right)\left(x^4+x^2+4\right)=\left(x^4+x^2+4\right)\left(\left(x^2+2\right)^2-x^2\right )=\\ \\ =\left(x^4+x^2+4\right)\left(x^2-x+2\right)\left(x^2+x+2\right)$

в)

$\left(x^4+x^2+4\right)\left(x^2-x+2\right)\left(x^2+x+2\right)=\left(x^4+4x^2+4-3x^2\right)\cdot \\ \\ \cdot \left(x^2-x+2\right)\left(x^2+x+2\right)=\left(\left(x^2+2\right)^2-\left(\sqrt{3}x\right)^2\right)\left(x^2-x+2\right)\cdot \\ \\ \cdot \left(x^2+x+2\right)=\left(x^2+\sqrt{3}x+2\right)\left(x^2-\sqrt{3}x+2\right)\left(x^2-x+2\right)\left(x^2+x+2\right)$

Answer 3

Давайте розкладемо даний вираз на множники.

Почнемо з позначення: a = x^4 і b = 2x^2.

Вираз (x^4 + 2x^2)^2 можна записати як (a + b)^2. Використаємо формулу квадрату суми: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Тоді, (x^4 + 2x^2)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = x^8 + 4x^6 + 4x^4 + 4x^4 + 8x^2 + 4.

Тепер розкладемо 8(x^4 + 2x^2). Використаємо дистрибутивність множення: 8(x^4 + 2x^2) = 8x^4 + 16x^2.

Також, від числа 16 можна відняти x^4.

Отже, остаточний розклад даного виразу на множники буде: (x^4 + 2x^2)^2 + 8(x^4 + 2x^2) + 16 - x^4 = (x^8 + 4x^6 + 8x^4 + 8x^2 + 4) + (8x^4 + 16x^2) + 16 - x^4.

Тепер згрупуємо подібні члени: = x^8 + 4x^6 + 8x^4 + 8x^4 + 16x^4 + 8x^2 + 16x^2 + 4 + 16 - x^4.

Результат:

а) Розклад на два множники: (x^8 + 4x^6 + 8x^4 + 8x^4 + 16x^4 + 8x^2 + 16x^2 + 4 + 16 - x^4) = (x^8 + 4x^6 + 24x^4 + 24x^2 + 20)

б) Розклад на три множники: (x^8 + 4x^6 + 8x^4 + 8x^4 + 16x^4 + 8x^2 + 16x^2 + 4 + 16 - x^4) = (x^8 + 16x^4 + 20) + 4x^6 + 32x^2.

в) Розклад на чотири множники: (x^8 + 4x^6 + 8x^4 + 8x^4 + 16x^4 + 8x^2 + 16x^2 + 4 + 16 - x^4) = (x^8 + 16x^4 + 20) + 4x^6 + (32x^2 + 4) - x^4.

Зауваження: у всіх вищезазначених розкладах множники відмінні від констант, тобто вони містять змінну "x".