Question

Помогите, пожалуйста. Наибольшее целое значение неравенства: (3х^2+4x-4) /(8+15х)<0

Answer 1

Ответ:

x = 0

Объяснение:

В основе решения таких неравенств лежит идея о знакопостоянствах функций. Дробь меньше нуля (т.е. отрицательна) только в том случае, если знак числителя не совпадает со знаком знаменателя. Чтобы найти промежутки, в которых эти знаки разнятся, допускают замену деления умножением, иными словами, решение неравенства

$(3x^2+4x-4)(8+15x)$

Проще всего такие неравенства решаются методом интервалов.

Для этого необходимо найти корни каждого из многочленов

1) $8 + 15x = 0\\x = -\frac{8}{15}$

Стоит заметить, что мы приравниваем "бывший" знаменатель к нулю,  лишь потому что нас интересуют интервалы знакопостоянства, а не только ради ОДЗ.

2) $3x^2 + 4x - 4 = 0\\D = 16 + 48 = 64\\x_1 = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{2}{3}\\x_2=\frac{-4-8}{6} = -2$

Вырисовываем две оси, отмечаем на них корни (необязательно соблюдать масштаб, главное - соблюсти порядок чисел: меньшие должны стоять левее)

+                              -                           +

-------------|------------------------------|-------------->

             -2                                 2/3

-                                                +

--------------------------|-------------------------------->

                            -8/15

В тех интервалах, где знаки не совпадают, и будут нашим решением.

Это интервал (-∞;-2)∪(-8/15;2/3)

Так как от нас требуют найти наибольшее целое значение решения неравенства, то, очевидно, это будет 0.

Answer 2

Для нахождения наибольшего целого значения x, удовлетворяющего неравенству (3x^2 + 4x - 4) / (8 + 15x) < 0, мы должны проанализировать знак выражения (3x^2 + 4x - 4) / (8 + 15x) в различных интервалах значений x.

1. Найдем точки, в которых знаменатель равен нулю и определим знак неравенства в этих точках: 8 + 15x = 0 15x = -8 x = -8/15 ≈ -0.533

Таким образом, точка разрыва уравнения находится в x ≈ -0.533.

2. Исследуем знаки выражения (3x^2 + 4x - 4) и (8 + 15x) в интервалах, определенных разрывами:

a) x < -0.533 Выберем x = -1 (произвольное значение меньше -0.533): (3(-1)^2 + 4(-1) - 4) / (8 + 15(-1)) = (3 - 4 - 4) / (8 - 15) = -5 / -7 ≈ 0.714 Таким образом, выражение положительно при x < -0.533.

b) -0.533 < x < -8/15 Выберем x = -0.6 (произвольное значение между -0.533 и -8/15): (3(-0.6)^2 + 4(-0.6) - 4) / (8 + 15(-0.6)) = (3(0.36) - 2.4 - 4) / (8 - 9) = (1.08 - 6.4) / (-1) ≈ -5.32 Таким образом, выражение отрицательно при -0.533 < x < -8/15.

c) x > -8/15 Выберем x = 0 (произвольное значение больше -8/15): (3(0)^2 + 4(0) - 4) / (8 + 15(0)) = (-4) / 8 = -0.5 Таким образом, выражение отрицательно при x > -8/15.

Теперь, чтобы выражение (3x^2 + 4x - 4) / (8 + 15x) было отрицательным, необходимо, чтобы x находился в интервале -0.533 < x < -8/15.

Найдем наибольшее целое значение x, которое удовлетворяет неравенству: Наибольшее целое значение x = -1

Таким образом, решением неравенства (3x^2 + 4x - 4) / (8 + 15x) < 0 является x = -1.