Question

A и b натуральные числа. с-произведение простых множителей, которые не является общими для этих двух чисел. Найдите НОД(a,b) если ab/c = 256 Желательно подробно и с объяснениями.Пасибо

Answer 1

Ответ:

16

Объяснение:

Пусть наибольший общий делитель равен $d$. Тогда числа можно представить в виде $a = a' \cdot d$, $b = b' \cdot d$, где $a'$ и $b'$ - какие-то натуральные числа.

У $a'$ и $b'$ по построению не может быть общих делителей: если бы нашелся общий делитель $x>1$, то существовал бы общий делитель чисел $a$ и $b$, равный $xd>d$, что противоречило бы тому, что $d$ - наибольший общий делитель. Поэтому в $a'$ и $b'$ входят все простые делители $a$ и $b$, не являющиеся общими. Получается, $c=a'b'$

Подставляем всё в равенство из условия и находим $d$:

$\dfrac{ab}c=\dfrac{a'd\cdot b'd}{a'b'}=d^2=256\\\boxed{d=16}$

Answer 2

Давайте разберемся в данной задаче шаг за шагом.

1. Первое, что мы можем заметить, это то, что 256 является степенью двойки: 256 = 2^8.

2. Дано, что ab/c = 256.

3. Нам нужно найти НОД(a, b). Чтобы это сделать, давайте рассмотрим сами числа a и b.

4. Разложим числа a и b на их простые множители.

Пусть простые множители числа a - это p1^x1 * p2^x2 * ... * pn^xn (где pi - простые числа, а xi - их степени), и аналогично для числа b: b = q1^y1 * q2^y2 * ... * qm^ym.

5. Обратим внимание на то, что с - это произведение простых множителей, которые не являются общими для a и b. То есть с содержит простые множители, которые есть только в числе a, только в числе b или в обоих числах в различных степенях.

6. Поскольку ab/c = 256 = 2^8, мы знаем, что среди простых множителей чисел a и b должны быть только степени двойки.

7. Возможные варианты разложения на простые множители числа 256 (2^8) таковы:

• a = 2^0 * 2^8 = 2^8
• b = 2^8 * 2^0 = 2^8
• a = 2^1 * 2^7 = 2^8
• b = 2^7 * 2^1 = 2^8
• a = 2^2 * 2^6 = 2^8
• b = 2^6 * 2^2 = 2^8
• a = 2^3 * 2^5 = 2^8
• b = 2^5 * 2^3 = 2^8
• a = 2^4 * 2^4 = 2^8

8. Обратим внимание, что существуют только две различные комбинации простых множителей с, которые могут быть разделены между a и b: 2^0 * 2^8 и 2^8 * 2^0. Это соответствует случаям, когда одно из чисел a или b равно 2^8, а другое равно 2^0 (т.е. 1).

9. Но так как a и b являются натуральными числами, то нам нужно выбрать комбинацию, в которой оба числа a и b равны 2^8.

Таким образом, a = 2^8 и b = 2^8.

10. Теперь, чтобы найти НОД(a, b), нам нужно определить общие простые множители чисел a и b и взять их наименьшие степени.

a = 2^8 = 256, ближайший простой множитель - 2. b = 2^8 = 256, ближайший простой множитель - 2.

Общий простой множитель у a и b - 2^1 = 2.

Таким образом, НОД(a, b) = 2.

Итак, ответ: НОД(a, b) = 2.