Question

Найти все значенияпараметра а, при которых уравнение имеет решение sqrt(x +3a)+sqrt(x-3) = 7

Answer 1

Ответ:

[-52/3 ; 46/3]

Объяснение:

Answer 2

Давайте решим уравнение для значения параметра "а" методом анализа и нахождения допустимых значений.

Имеем уравнение: √(x + 3a) + √(x - 3) = 7

Для начала, заметим, что корни под знаками радикалов должны быть неотрицательными, иначе уравнение не будет иметь решения в действительных числах. Таким образом, для "x + 3a" и "x - 3" должны выполняться следующие условия:

1. x + 3a ≥ 0 --> условие 1
2. x - 3 ≥ 0 --> условие 2

Теперь разберемся с условиями для "а". Обратим внимание, что если "а" выбирается таким образом, что условия 1 и 2 не нарушаются, то оба радикала будут неотрицательными, и решение уравнения будет существовать. Однако, у нас также есть ограничение, что равенство √(x + 3a) + √(x - 3) = 7 должно выполняться.

Для нахождения допустимых значений "а" рассмотрим равенство:

√(x + 3a) + √(x - 3) = 7

Вычтем из обеих частей равенства √(x - 3):

√(x + 3a) = 7 - √(x - 3)

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

(x + 3a) = (7 - √(x - 3))^2

(x + 3a) = (7 - √(x - 3))(7 - √(x - 3))

Раскроем скобки:

x + 3a = 49 - 7√(x - 3) - 7√(x - 3) + (x - 3)

Упростим:

x + 3a = 49 - 14√(x - 3) + x - 3

Теперь выразим "x" через "a":

x + x = 49 + 3a - 3 + 14√(x - 3)

2x = 46 + 3a + 14√(x - 3)

Избавимся от радикала:

2x - 14√(x - 3) = 46 + 3a

Теперь выразим "x" через "a" в явном виде:

2x = 14√(x - 3) + 46 + 3a

x = 7√(x - 3) + 23 + 3a

Теперь подставим это выражение для "x" в условия 1 и 2:

1. 7√(x - 3) + 23 + 3a + 3a ≥ 0
2. 7√(x - 3) + 23 + 3a - 3 ≥ 0

Обратите внимание, что условия выше могут дать ограничения на значения "а". Решим их:

1. 7√(x - 3) + 23 + 6a ≥ 0
2. 7√(x - 3) + 20 + 3a ≥ 0

Теперь найдем точку пересечения этих двух условий:

7√(x - 3) + 23 + 6a = 7√(x - 3) + 20 + 3a

Упростим:

3a = -3

a = -1

Таким образом, при "а = -1" уравнение имеет решение. Подставим этот "а" обратно в уравнение для "x":

x = 7√(x - 3) + 23 - 3

x = 7√(x - 3) + 20

Теперь вставим это значение "x" и значение "a" обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться:

√(x + 3a) + √(x - 3) = 7

√(20 - 3) + √(20 - 3) = 7

√17 + √17 = 7

2√17 = 7

Это не выполняется, что означает, что уравнение не имеет решения при "а = -1".

Таким образом, уравнение не имеет решения ни при каком значении "а" в действительных числах.