Question

Докажите, что число, заданное выражением 3^n+5^n+7^n+9^n , кратно 4 при любом натуральном n.

Answer 1

Решение на прикреплённом листочке, решение методом математической индукции.

Замечание: знак "три вертикальные точки" означает "делится нацело на" или "кратно".

===>>

Answer 2

Ответ:

Объяснение:  Решение : ////////////////////////

Answer 3

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая. Для n = 1, выражение 3^1 + 5^1 + 7^1 + 9^1 = 3 + 5 + 7 + 9 = 24, что является кратным 4.

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, т.е., 3^k + 5^k + 7^k + 9^k кратно 4.

Шаг 3: Индукционный переход. Докажем, что утверждение верно для n = k + 1. Нам нужно показать, что 3^(k+1) + 5^(k+1) + 7^(k+1) + 9^(k+1) кратно 4.

Разложим это выражение:

3^(k+1) + 5^(k+1) + 7^(k+1) + 9^(k+1) = 3 * 3^k + 5 * 5^k + 7 * 7^k + 9 * 9^k.

Поскольку мы предполагаем, что 3^k + 5^k + 7^k + 9^k кратно 4, то мы можем заменить каждое слагаемое на 0 по модулю 4:

3 * 3^k + 5 * 5^k + 7 * 7^k + 9 * 9^k ≡ 3 * 0 + 5 * 0 + 7 * 0 + 9 * 0 ≡ 0 (mod 4).

Таким образом, мы доказали, что 3^(k+1) + 5^(k+1) + 7^(k+1) + 9^(k+1) кратно 4, при условии, что 3^k + 5^k + 7^k + 9^k кратно 4.

Итак, по принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных чисел n.