Question

Доведіть, що вираз x2 - 14х + 51 набуває додатних значень при всіх значеннях х. Икс если что во второй степени. Распишите решение подробно

Answer 1

Доказательство:

x^2 - 14х + 51 = x^2 - 14х + 49 + 2 = (х - 7)^2 + 2;

(х - 7)^2 ≥ 0 при всех значениях х, тогда

(х - 7)^2 + 2 ≥ 0 + 2

x^2 - 14х + 51 ≥ 2, т.е. квадратный трёхчлен принимает значенич, не меньшие двух, и, следовательно, только положительные значения, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доведення того, що вираз $x^2 - 14x + 51$ набуває додатних значень при всіх значеннях $x$, ми спробуємо знайти дискримінант квадратного трьохчлена та довести, що він завжди більше за нуль.

Дискримінант $D$ квадратного трьохчлена $ax^2 + bx + c$ знаходиться за формулою: $D = b^2 - 4ac$.

У нашому випадку $a = 1$, $b = -14$ та $c = 51$. Підставимо ці значення в формулу для дискримінанта:

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 51$

$D = 196 - 204$

$D = -8$

Отримали, що дискримінант має від'ємне значення ($D < 0$).

Коли дискримінант від'ємний, то квадратний трьохчлен не має жодного дійсного кореня, а значить, його знак не може змінюватися надточною величиною $x$. Отже, щоб довести, що вираз $x^2 - 14x + 51$ набуває додатних значень при всіх значеннях $x$, нам достатньо показати, що він завжди більше за нуль.

Оскільки $D < 0$, то квадратний трьохчлен $x^2 - 14x + 51$ завжди буде більше за нуль, оскільки усі його коефіцієнти є додатні.

Таким чином, ми довели, що вираз $x^2 - 14x + 51$ набуває додатних значень при всіх значеннях $x$.