Question

Объясните пожалуйста,решается по теореме виета не вычисляя корней уравнения 3x^2+8x-1=0 найдите:. а) x1^2=x2^2 b) x1*x2^3+x2*x1^3 c) (x1/x2^2)+(x2/x1^2) d) x1^4+x2^4

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Нужно заданные формулы представить в виде комбинации из x1+x2 и x1*x2.

A) x1^2 + x2^2 = (x1+x2)^2 - 2*x1*x2

B) x1*x2^3 + x2*x1^3 = x1*x2*(x2^2 + x1^2) = x1*x2*((x1+x2)^2 - 2*x1*x2)

C) x1/x2^2 + x2/x1^2 = (x1^3 + x2^3)/(x1*x2)^2 = (x1+x2)(x1^2-x1*x2+ x2^2)/(x1*x2)^2 = (x1+x2)((x1+x2)^2 - 3*x1*x2)/(x1*x2)^2

D) x1^4 + x2^4 = (x1+x2)^4 - 4x1^2 - 6*x1*x2 - 4x2^2 = (x1+x2)^4 - 4((x1+x2)^2 - 2*x1*x2) - 6*x1*x2.

Теперь остаётся подставить данные из теоремы Виета.

x1+x2 = - b/a = - 8/3

x1*x2 = c/a = - 1/3

A) x1^2 + x2^2 = ((-8/3)^2 - 2(-1/3)) = 64/9 + 2/3 = 64/9 + 6/9 = 70/9

Остальные точно также.

Answer 2

Да, уравнение 3x^2 + 8x - 1 = 0 может быть решено с использованием теоремы Виета.

Пусть у нас есть уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, тогда теорема Виета утверждает следующее:

1. Сумма корней уравнения равна -b/a.
2. Произведение корней уравнения равно c/a.

В данном уравнении: a = 3 b = 8 c = -1

Теперь рассчитаем значения корней (x1 и x2):

1. Сумма корней (x1 + x2) = -b/a = -8/3
2. Произведение корней (x1 * x2) = c/a = -1/3

Теперь решим заданные вопросы:

a) x1^2 = x2^2 Пользуемся тождеством (a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2) и заменяем значения: x1^2 - x2^2 = (x1 - x2)^2

Известно, что x1 - x2 = -b/a, поэтому: x1^2 - x2^2 = (-b/a)^2 = (8/3)^2 = 64/9

b) x1 * x2^3 + x2 * x1^3 Заменим значения: x1 * x2^3 + x2 * x1^3 = x1 * x2 * (x2^2 + x1^2)

Мы уже знаем, что x1 * x2 = c/a, а x2^2 + x1^2 = (x1 + x2)^2 - 2 * x1 * x2 (по тождеству a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab). Заменим значения: x1 * x2^3 + x2 * x1^3 = (c/a) * ((x1 + x2)^2 - 2 * x1 * x2)

Мы уже рассчитали значения (x1 + x2) и x1 * x2, поэтому подставим их: x1 * x2^3 + x2 * x1^3 = (-1/3) * ((-8/3)^2 - 2 * (-1/3)) = (-1/3) * (64/9 + 2/3) = (-1/3) * (64/9 + 6/9) = (-1/3) * 70/9 = -70/27

c) (x1/x2^2) + (x2/x1^2) Заменим значения: (x1/x2^2) + (x2/x1^2) = (x1^3 + x2^3) / (x1^2 * x2^2)

Мы уже рассчитали значения x1^3 + x2^3 (подставим значение из пункта b)) и x1 * x2 (подставим значение из теоремы Виета): (x1/x2^2) + (x2/x1^2) = (-70/27) / (c/a)^2 = (-70/27) / (-1/3)^2 = (-70/27) / (1/9) = -70/3

d) x1^4 + x2^4 Заменим значения: x1^4 + x2^4 = (x1^2 + x2^2)^2 - 2 * x1^2 * x2^2

Мы уже рассчитали значения x1^2 + x2^2 (подставим значение из пункта a)) и x1 * x2 (подставим значение из теоремы Виета): x1^4 + x2^4 = (64/9)^2 - 2 * (-1/3) = 4096/81 + 2/3 = (4096 + 54) / 81 = 4150/81

Итак, ответы на задачу:

a) x1^2 = x2^2 равно 64/9 b) x1 * x2^3 + x2 * x1^3 равно -70/27 c) (x1/x2^2) + (x2/x1^2) равно -70/3 d) x1^4 + x2^4 равно 4150/81