Question

Помогите разложить на множители( x - y)^3+(y-z)^3 + (z-x)^3​

Answer 1

Обозначим x-y=a; y-z=b; z-x=c. Заметим, что a+b+c=0, то есть c=-a-b.

$(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=a^3+b^3+c^3=a^3+b^3+(-a-b)^3=$

$=a^3+b^3-(a+b)^3=a^3+b^3-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3=-3ab(a+b)=3abc=$

$=3(x-y)(y-z)(z-x)$

Ответ: $3(x-y)(y-z)(z-x)$

Answer 2

Для разложения выражения на множители воспользуемся формулой суммы кубов:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Раскладываем каждое слагаемое по этой формуле:

1. $(x - y)^3 = (x - y)(x^2 - xy + y^2)$
2. $(y - z)^3 = (y - z)(y^2 - yz + z^2)$
3. $(z - x)^3 = (z - x)(z^2 - zx + x^2)$

Теперь сложим все полученные разложения:

$(x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3 = (x - y)(x^2 - xy + y^2) + (y - z)(y^2 - yz + z^2) + (z - x)(z^2 - zx + x^2)$.

Осталось раскрыть скобки и привести подобные слагаемые:

$(x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3 = x^3 - x^2y + xy^2 - y^3 + y^3 - y^2z + yz^2 - z^3 + z^3 - zx^2 + z^2x$.

Мы видим, что некоторые слагаемые сокращаются:

$(x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3 = x^3 + y^3 + z^3 - x^2y - y^2z - zx^2 + xy^2 + yz^2 + z^2x$.

Таким образом, разложение данного выражения на множители:

$(x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3 = x^3 + y^3 + z^3 - x^2y - y^2z - zx^2 + xy^2 + yz^2 + z^2x$.