Question

Найдите указанные пределы: lim┬(x→x0)⁡= (x^2+ 5 x+4)/(2x^2-3x+5) ; а) х0= -2; б) х0= -1; в) х0= ∞.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Числитель раскладывается на множители (х+1)(х+4).

Знаменатель не имеет корней, т.е. х - любое.

1. Подставляем вместо х значение -2.

Имеем -2/19.

2. Подставляем х=-1.

Числитель равен 0, знаменатель существует. Ответ 0.

3. Разделим числитель и знаменатель дроби на х→ ∞.

Тогда в числителе получим 1 + 5/х + 4/х↑2

в знаменателе получим  2 - 3/х + 5/х↑2.

При х→∞ вторые и третьи члены числителя и знаменателя будут стремиться к нулю.

Получим ответ 1/2.

Answer 2

Для нахождения указанных пределов, нам необходимо подставить значения x₀ вместо x и вычислить результат.

а) Предел при x₀ = -2: lim┬(x→-2)⁡[(x^2 + 5x + 4) / (2x^2 - 3x + 5)]

Подставляем x₀ = -2: [( (-2)^2 + 5(-2) + 4) / (2(-2)^2 - 3(-2) + 5)] = (4 - 10 + 4) / (8 + 6 + 5) = -2 / 19

Ответ: lim┬(x→-2)⁡(x^2 + 5x + 4) / (2x^2 - 3x + 5) = -2 / 19.

б) Предел при x₀ = -1: lim┬(x→-1)⁡[(x^2 + 5x + 4) / (2x^2 - 3x + 5)]

Подставляем x₀ = -1: [( (-1)^2 + 5(-1) + 4) / (2(-1)^2 - 3(-1) + 5)] = (1 - 5 + 4) / (2 + 3 + 5) = 0 / 10 = 0

Ответ: lim┬(x→-1)⁡(x^2 + 5x + 4) / (2x^2 - 3x + 5) = 0.

в) Предел при x₀ = ∞: lim┬(x→∞)⁡[(x^2 + 5x + 4) / (2x^2 - 3x + 5)]

При стремлении x к бесконечности, мы можем применить правило Лопиталя для определения предела:

lim┬(x→∞)⁡[(x^2 + 5x + 4) / (2x^2 - 3x + 5)] = lim┬(x→∞)⁡[2x + 5 / 4x - 3]

Теперь подставляем x = ∞: lim┬(x→∞)⁡[2x + 5 / 4x - 3] = ∞ + 5 / ∞ - 3 = ∞ / ∞

Здесь мы получили неопределенность типа ∞ / ∞. Чтобы решить эту неопределенность, мы можем применить правило Лопиталя еще раз:

lim┬(x→∞)⁡[2x + 5 / 4x - 3] = lim┬(x→∞)⁡[2 / 4] = 1/2

Ответ: lim┬(x→∞)⁡(x^2 + 5x + 4) / (2x^2 - 3x + 5) = 1/2.