Question

При каких значениях параметра a произведение корней уравнения x^2−(a+3)x+a^2−7=0 на 2 больше суммы корней? Если ответов несколько, введите их все.

Answer 1

.............................

Answer 2

Найдем те значение параметра, при которых квадратное уравнение имеет корни:

$D=(a+3)^2-4(a^2-7)=a^2+6a+9-4a^2+28=-3a^2+6a+37\geq 0\\ 3a^2-6a-37\leq 0\\ \\ \bigg[\dfrac{3-2\sqrt{30}}{3};\dfrac{3+2\sqrt{30}}{3}\bigg]$

По теореме Виета

$x_1+x_2=a+3\\ x_1x_2=a^2-7$

Составим уравнение по условию

$a^2-7=a+3+2\\ \\ a^2-a-12=0$

По теореме Виета

$a_1=-3\\ a_2=4$

Корень a = -3 не удовлетворяет $\bigg[\dfrac{3-2\sqrt{30}}{3};\dfrac{3+2\sqrt{30}}{3}\bigg]$

Ответ: 4.

Answer 3

Для решения данной задачи, давайте вначале найдем сумму и произведение корней уравнения.

У нас дано уравнение вида: x^2 - (a + 3)x + a^2 - 7 = 0

Сумма корней уравнения x1 и x2 равна: x1 + x2 = (a + 3)

Произведение корней уравнения равно: x1 * x2 = (a^2 - 7)

Условие задачи гласит, что произведение корней уравнения умноженное на 2 должно быть больше суммы корней: 2 * (x1 * x2) > (x1 + x2)

Подставим значения суммы и произведения корней: 2 * (a^2 - 7) > (a + 3)

Раскроем скобки: 2a^2 - 14 > a + 3

Приведем уравнение к квадратному виду: 2a^2 - a - 17 > 0

Теперь решим неравенство. Найдем корни квадратного уравнения: a1 = (-b + sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a a2 = (-b - sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a

Где a = 2, b = -1 и c = -17. Подставим значения: a1 = (-(-1) + sqrt((-1)^2 - 4 * 2 * (-17))) / (2 * 2) a2 = (-(-1) - sqrt((-1)^2 - 4 * 2 * (-17))) / (2 * 2)

Вычислим корни: a1 ≈ 2.8047 a2 ≈ -1.5047

Таким образом, при значениях параметра a, больших 2.8047 или меньших -1.5047, произведение корней уравнения на 2 будет больше суммы корней. Если a находится в этом интервале, выполняется условие задачи.