Question

[100 бaллов] Найти производную:1) lncosx2) ctgx×ln(x^2+x)3) 5lnx×ctgxЗаранее благодарю)

Answer 1

$1)~ (\ln \cos x)'=\dfrac{1}{\cos x}\cdot (\cos x)'=-\dfrac{\sin x}{\cos x}=-{\rm tg}\, x$

$2)~\big({\rm ctg}\, x\ln(x^2+x)\big)'=({\rm ctg}\, x)'\cdot \ln(x^2+x)+{\rm ctg}\, x\cdot \big(\ln(x^2+x)\big)'=\\ \\ =-\dfrac{1}{\sin^2x}\cdot \ln(x^2+x)+{\rm ctg}\, x\cdot \dfrac{1}{x^2+x}\cdot (x^2+x)'=\\ \\ =-\dfrac{\ln(x^2+x)}{\sin^2x}+\dfrac{(2x+1){\rm ctg}\, x}{x^2+x}$

$3)~ \big(5\ln x\cdot {\rm ctg}\, x\big)'=5(\ln x)'\cdot {\rm ctg}\, x+5\ln x\cdot ({\rm ctg}\, x)'=\\ \\ =\dfrac{5}{x}\cdot {\rm ctg}\, x+5\ln x\cdot \left(-\dfrac{1}{\sin^2x}\right)=\dfrac{5{\rm ctg}\, x}{x}-\dfrac{5\ln x}{\sin^2x}$

Answer 2

$1)\; \; y=ln(cosx)\; \; ,\; \; \;( lnu)'=\frac{1}{u}\cdot u'\; ,\; \; u=cosx\\\\y'=\frac{1}{cosx}\cdot (-sinx)=-tgx\\\\\\2)\; \; y=ctgx\cdot ln(x^2+x)\; \; ,\; \; \; (uv)'=u'v+uv'\\\\y'=-\frac{1}{sin^2x}\cdot ln(x^2+x)+ctgx\cdot \frac{1}{x^2+x}\cdot (2x+1)\\\\\\3)\; \; y=5\, lnx\cdot ctgx\; \; \; ,\; \; (uv)'=u'v+uv'\\\\y'=\frac{5}{x}\cdot ctgx+5\, lnx\cdot \frac{-1}{sin^2x}=\frac{5\, ctgx}{x}-\frac{5\, lnx}{sin^2x}$

Answer 3

1. Найдем производную выражения ln(cos(x)): d/dx [ln(cos(x))] = (1/cos(x)) * (-sin(x)) = -tan(x)

2. Найдем производную выражения ctg(x) * ln(x^2 + x): Для удобства, обозначим функции f(x) = ctg(x) и g(x) = ln(x^2 + x). Тогда производная произведения двух функций равна: d/dx [f(x) * g(x)] = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)

f'(x) = -cosec^2(x) (производная ctg(x)) g'(x) = (1/(x^2 + x)) * (2x + 1) = (2x + 1)/(x^2 + x) (производная ln(x^2 + x))

Теперь можем найти производную: d/dx [ctg(x) * ln(x^2 + x)] = (-cosec^2(x)) * ln(x^2 + x) + ctg(x) * (2x + 1)/(x^2 + x)

3. Найдем производную выражения 5ln(x) * ctg(x): Для удобства, обозначим функции f(x) = 5ln(x) и g(x) = ctg(x). Тогда производная произведения двух функций равна: d/dx [f(x) * g(x)] = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)

f'(x) = 5 * (1/x) = 5/x (производная ln(x)) g'(x) = -cosec^2(x) (производная ctg(x))

Теперь можем найти производную: d/dx [5ln(x) * ctg(x)] = (5/x) * ctg(x) + 5ln(x) * (-cosec^2(x))