Question

Решите уравнение 2arctgx+3arcctgx=5

Answer 1

$2arctg~x+3arcctg~x=5\\\\2\big(arctg~x+arcctg~x\big)+arcctg~x=5\\\\2\cdot \dfrac{\pi}2+arcctg~x=5\\\\\pi+arcctg~x=5\\\\arcctg~x=5-\pi$

Множество значений функции arcctg(x) - первая и вторая четверти.

Угол   (5-π) ≈ 1,86   радиан относится ко второй четверти.

$ctg\big(arcctg~x\big)=ctg\big(5-\pi\big)\\\\\boxed{\boldsymbol{x=ctg\big(5-\pi\big)}}$

===================================

Использованы формулы

$arctg~\alpha +arcctg~\alpha =\dfrac{\pi}2,\ \ \ \alpha \in\big(-\infty;+\infty\big)\\\\ctg\big(arcctg~\beta \big)=\beta ,\ \ \ \beta \in\big(0;\pi\big)$

Answer 2

Для решения уравнения 2arctgx + 3arcctgx = 5, где arcctg(x) - обратная функция котангенса, нужно преобразовать уравнение и найти значение аргумента x.

1. Преобразование уравнения: Используем следующие тождества тригонометрии:

• arcctg(x) = π/2 - arctg(x)

Тогда уравнение примет вид: 2arctgx + 3(π/2 - arctg(x)) = 5

2. Решение уравнения: Раскроем скобку и объединим подобные слагаемые: 2arctgx + (3π/2 - 3arctg(x)) = 5

Перенесем слагаемые с arctg(x) на одну сторону, а остальные слагаемые на другую: 2arctg(x) - 3arctg(x) = 5 - 3π/2

Упростим: -arctg(x) = 5 - 3π/2

Теперь выразим arctg(x): arctg(x) = -5 + 3π/2

3. Найдем значение аргумента x: Чтобы найти x, возьмем тангенс от обеих сторон уравнения: x = tg(arctg(x)) = tg(-5 + 3π/2)

Так как tg(π/2 + θ) = -ctg(θ), то получим: x = -ctg(5 - 3π/2)

Теперь вычислим численное значение. Помните, что ctg(π/2) и ctg(3π/2) не существуют, так как деление на ноль невозможно. Поэтому предполагаем, что 5 - 3π/2 ≠ π/2 и 5 - 3π/2 ≠ 3π/2.

После вычислений получим приближенное численное значение x.