Question

Постройте график функции y= - 1\2√x+1 Пользуясь построенным графиком найдите: а) Нули функции. б) Промежутки законопостоянства. в) Промежутки возрастания и убывания функции. г) Область значений функции.

Answer 1

ДАНО: y = - 1/2*√x   + 1

Объяснение:

Рисунок с графиком функции в приложении.

Область определения функции - ООФ.

Под корнем не отрицательное число.

D(y) = [0;+∞)

a) - 1/2*√x + 1 = 0

√x =  2,   х = 2² = 4  

y(4) = 0 - пересечение с осью ОХ.

у(0) = 1 - пересечение с осью ОУ.

б) Положительна: y > 0 при  х= [0;4)

Отрицательна: y ≤ 0 при х = [4;+∞)

в) Промежутки возрастания.

Первая производная.

$y'(x)=(1-\frac{\sqrt{x} }{2})'=-\frac{1}{4\sqrt{x} }$

Решений нет. Экстремумов нет.

Убывает при Х= = [0;+∞) - во всей ООФ.

г) Область значений функции.

Максимальное значение при х=0.  Y(0) = 1.

E(y) = [1;-∞) - область значений.

Answer 2

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{2}\sqrt{x} + 1$ мы должны изучить её основные характеристики.

а) Нули функции: Нули функции это значения $x$, при которых $y$ равно 0. Для найти нули, мы приравниваем $y$ к нулю и решаем уравнение:

$0 = -\frac{1}{2}\sqrt{x} + 1$

$\frac{1}{2}\sqrt{x} = 1$

$\sqrt{x} = 2$

$x = 2^2$

$x = 4$

Таким образом, нуль функции $y = -\frac{1}{2}\sqrt{x} + 1$ равен $x = 4$.

б) Промежутки законопостоянства: Промежутки законопостоянства - это интервалы, на которых функция принимает постоянное значение. Функция $y = -\frac{1}{2}\sqrt{x} + 1$ имеет отрицательный коэффициент перед корнем, что означает, что она убывает по мере увеличения $x$. Это означает, что она будет принимать каждое значение только один раз. Ответ: нет промежутков законопостоянства.

в) Промежутки возрастания и убывания функции: Функция $y = -\frac{1}{2}\sqrt{x} + 1$ убывает по мере увеличения $x$, так как у неё отрицательный коэффициент перед корнем. Таким образом, она возрастает по мере уменьшения $x$. Промежуток возрастания - это интервал, на котором функция строго возрастает. Промежуток убывания - это интервал, на котором функция строго убывает. Так как функция убывает на всей области определения, ответ: промежуток убывания - $(0, +\infty)$, промежуток возрастания - $(-\infty, 0)$.

г) Область значений функции: Область значений функции - это множество всех возможных значений функции $y$ при всех возможных значениях $x$ в её области определения. В данном случае, так как у функции есть корень, то её область определения должна быть $x \geq 0$, чтобы значение под корнем не становилось отрицательным.

Наибольшее значение, которое может принимать функция, это значение при $x = 0$:

$y = -\frac{1}{2}\sqrt{0} + 1 = -\frac{1}{2}\cdot 0 + 1 = 1$

Таким образом, область значений функции $y = -\frac{1}{2}\sqrt{x} + 1$ - это $y \leq 1$.

Теперь, давайте построим график функции $y = -\frac{1}{2}\sqrt{x} + 1$ и подтвердим наши выводы:

(К сожалению, я как текстовая AI модель не могу непосредственно построить графики, но вы можете использовать графические инструменты, такие как Desmos или GeoGebra, чтобы построить график этой функции и проверить все указанные выше характеристики.)