Question

Найти разложение вектора х по векторам p, q, z если x={-1, 7, 0} p={0, 3, 1} q={1, - 1, 2} z={2, - 1, 0}

Answer 1

Даны векторы  x={-1, 7, 0}, p={0, 3, 1}, q={1, - 1, 2}, z={2, - 1, 0}.

Разложение вектора имеет вид: x = αp + βq + γz.

Из равенства векторов следует равенство их одноимённых координат.

Из этого следует система линейных уравнений:

{αp1 + βq1 + γz1 = -1,

{αp2 + βq2 + γz2 = 7,

{αp3 + βq3 + γz3 = 0.

Решение  системы методом Крамера (по треугольной схеме).

Найдём основной определитель системы .

0    1       2 |    0          1

3    -1       -1 |   3          -1

1    2     0 |           1           2.

D = 0 -1 + 12 -0 -0 + 2 = 13.

Заменяем 1-й столбец на вектор результатов B:  

-1      1          2  |        -1            1

7      -1         -1  |          7            -1

0       2 0  |          0             2.

D1 = 0 + 0 + 28 - 0 - 2 - 0 = 26.

Заменяем 2-й столбец на вектор результатов B:    

0       -1       2  |            0           -1

3        7            -1  |             3            7  

1        0      0  |             1             0.

D2 = 0 + 1 + 0 - 0 - 0 - 14 = -13.

Заменяем 3-й столбец на вектор результатов B:

0          1        -1  |          0            1

3         -1         7  |          3           -1  

1          2         0  |          1             2.

D3 = 0 + 7 - 6 - 0 - 0 - 1 = 0.

α = 26/13 = 2.

β = -13/13 = -1.

γ =  0/13 = 0.

Получили разложение x = 2p - q.

   

Answer 2

Для разложения вектора х по векторам p, q и z нужно найти коэффициенты, которые будут умножаться на каждый из векторов, чтобы их сумма равнялась вектору x.

Представим разложение вектора x следующим образом:

x = a * p + b * q + c * z,

где a, b и c - искомые коэффициенты.

Теперь запишем это в виде системы уравнений:

-1 = 0 * a + 1 * b + 2 * c, 7 = 3 * a + (-1) * b + (-1) * c, 0 = 1 * a + 2 * b + 0 * c.

Решим эту систему уравнений. Можно использовать метод Гаусса или метод обратной матрицы. Воспользуемся методом обратной матрицы:

Сначала составим матрицу коэффициентов:

| 0 1 2 | | 3 -1 -1 | | 1 2 0 |

Затем составим матрицу-столбец с координатами вектора x:

|-1 | | 7 | | 0 |

И вычислим обратную матрицу от матрицы коэффициентов:

| 2/3 1/3 2/3 | | 5/3 2/3 1/3 | | 1/3 -1/3 -2/3 |

Умножим обратную матрицу на матрицу-столбец с координатами вектора x:

| 2/3 1/3 2/3 | |-1 | | 7/3 | | 5/3 2/3 1/3 | | 7 | = | 19/3 | | 1/3 -1/3 -2/3 | | 0 | | -4/3 |

Таким образом, получаем:

a = 7/3, b = 19/3, c = -4/3.

Теперь можем записать разложение вектора x по векторам p, q и z:

x = (7/3) * p + (19/3) * q + (-4/3) * z.

Итак, разложение вектора x по векторам p, q и z:

x = (7/3) * p + (19/3) * q + (-4/3) * z.