Question

Исследовать и построить график функции 1 y=------------------------------ x^2 - 7x + 12

Answer 1

Ответ:

Извиняюсь за кривой почерк,надеюсь всё понятно.

Answer 2

Для исследования функции и построения её графика, давайте выполним следующие шаги:

1. Найдем область определения функции, т.е. значения x, для которых функция определена.
2. Найдем точки пересечения с осями координат (x- и y-пересечения).
3. Найдем экстремумы функции (минимумы и максимумы).
4. Найдем точки перегиба (если они есть).
5. Найдем поведение функции при стремлении аргумента x к плюс или минус бесконечности.
6. Построим график функции на основе полученной информации.

Давайте начнем:

1. Область определения функции: Выражение в знаменателе не должно быть равно нулю, чтобы избежать деления на ноль. Найдем, при каких значениях x это происходит:

x^2 - 7x + 12 = 0

Решим квадратное уравнение:

(x - 3)(x - 4) = 0

Таким образом, функция не определена при x = 3 и x = 4.

Область определения функции: x ∈ (-∞, 3) ∪ (3, 4) ∪ (4, +∞)

2. Точки пересечения с осями координат: Для точки пересечения с осью y, подставим x = 0:

y = 1 / (0^2 - 7 * 0 + 12) = 1 / 12

Точка пересечения с осью y: (0, 1/12)

Для точек пересечения с осью x, подставим y = 0 и решим уравнение:

0 = 1 / (x^2 - 7x + 12)

Таким образом, функция не имеет точек пересечения с осью x (не пересекает ось x).

3. Экстремумы функции (минимумы и максимумы): Для нахождения экстремумов найдем первую производную функции и приравняем её к нулю:

f(x) = 1 / (x^2 - 7x + 12)

f'(x) = -(1 / (x^2 - 7x + 12)^2) * (2x - 7)

Теперь приравняем производную к нулю и найдем значения x:

0 = -(1 / (x^2 - 7x + 12)^2) * (2x - 7)

2x - 7 = 0

2x = 7

x = 7 / 2

Теперь проверим, является ли найденное значение экстремумом. Для этого воспользуемся второй производной:

f''(x) = (2 / (x^2 - 7x + 12)^3) * ((x^2 - 7x + 12)^2 * 2 - (2x - 7)^2)

Подставим x = 7 / 2 во вторую производную:

f''(7 / 2) = (2 / (7 / 2 - 7 / 2 + 12)^3) * ((7 / 2 - 7 / 2 + 12)^2 * 2 - (2 * 7 / 2 - 7)^2)

f''(7 / 2) = (2 / 25) * (0 * 2 - (7 - 7)^2)

f''(7 / 2) = 0

Так как вторая производная равна нулю, то значение x = 7 / 2 является точкой перегиба, а не экстремумом.

4. Точки перегиба: Точки перегиба определяются, когда вторая производная равна нулю или не существует. Мы уже выяснили, что вторая производная равна нулю при x = 7 / 2.

Точка перегиба: (7 / 2, f(7 / 2)), где f(7 / 2) - значение функции при x = 7 / 2.

5. Поведение функции при стремлении x к плюс или минус бесконечности: При x -> +∞ и x -> -∞ функция стремится к нулю:

lim(x -> +∞) 1 / (x^2 - 7x + 12) = 0

lim(x -> -∞) 1 / (x^2 - 7x + 12) = 0

Теперь у нас есть все необходимые элементы для построения графика функции.

6. Построение графика функции: На основе всех рассчитанных значений и свойств функции, мы можем построить её график. Вот результат:

(График функции)

На графике видно, что функция имеет вертикальные асимптоты при x = 3 и x = 4 (так как функция не определена в этих точках). Также функция стремится к нулю при x -> +∞ и x -> -∞. Она не пересекает ось x, но имеет точку пересечения с осью y (0, 1/12). В точке x = 7 / 2 функция имеет точку перегиба.