Question

Найти все функции f: R-R такие, что для всех действительных x и y используют уравнение f(x+y)+x^2+y^2=f(x^2+y^2)+x+y

Answer 1

$x=-y:f(-y+y)+(-y)^2+y^2=f((-y)^2+y^2)-y+y\\ f(0)+2y^2=f(2y^2)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:(1)\\ x=y: f(y+y)+y^2+y^2=f(y^2+y^2)+y+y\\ f(2y)+2y^2=f(2y^2)+2y\:\:\:(2)\\ (2)-(1):f(2y)-f(0)=2y\\ y=\dfrac{z}{2}, z\in R:f(z)=z+f(0)=>f(z)=z+C, C=const, C\in R$

Проверка: $f(x+y)+x^2+y^2=f(x^2+y^2)+x+y\\ x+y+C+x^2=y^2=x^2+y^2+C+x+y$ - Верно.

Answer 2

Давайте решим уравнение шаг за шагом.

Изначально, подставим x = 0 и y = 0 в данное уравнение: f(0 + 0) + 0^2 + 0^2 = f(0^2 + 0^2) + 0 + 0 f(0) = f(0) + 0

Заметим, что наше уравнение имеет вид f(c) = f(c) + 0 для любого действительного числа c. Это означает, что любое действительное число является решением этого уравнения. Таким образом, функции вида f(x) = x, где x - действительное число, удовлетворяют данному уравнению.

Проверим, являются ли эти функции действительно решениями уравнения:

f(x+y) + x^2 + y^2 = (x + y) + x^2 + y^2 = x^2 + y^2 + x + y

f(x^2+y^2) + x + y = (x^2 + y^2) + x + y

Мы видим, что оба выражения равны, поэтому функции f(x) = x удовлетворяют данному уравнению.

Таким образом, решением данного уравнения являются все функции вида f(x) = x, где x - действительное число.