Question

исследуйте функцию f(x)=x^4-2x^2+3 и постройте ее график. найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [0;2]​​

Answer 1

Ответ:

===========================

Объяснение:

Answer 2

Для исследования функции f(x) = x^4 - 2x^2 + 3 на отрезке [0;2], мы можем выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции f(x). Производная функции позволяет нам найти точки экстремума (максимумы и минимумы) и точки перегиба.

f'(x) = 4x^3 - 4x

2. Найдите критические точки функции f(x), решив уравнение f'(x) = 0.

4x^3 - 4x = 0

Факторизуя, получим:

4x(x^2 - 1) = 0

Из этого уравнения мы получаем три критические точки: x = 0, x = 1, x = -1.

3. Определите знак производной f'(x) в интервалах между критическими точками и на концах отрезка [0;2]. Для этого можно выбрать произвольные значения из каждого интервала и проверить знак производной.

Выберем значения:

• f'(-2) = 4(-2)^3 - 4(-2) = -40 < 0
• f'(0.5) = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 1 > 0
• f'(1.5) = 4(1.5)^3 - 4(1.5) = 12 > 0

Таким образом, на интервалах (-∞, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, +∞) производная функции имеет знаки (-), (+), (-), (+) соответственно.

4. Определите значения функции f(x) в критических точках и на концах отрезка [0;2].

f(0) = (0)^4 - 2(0)^2 + 3 = 3 f(1) = (1)^4 - 2(1)^2 + 3 = 2 f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 2 f(2) = (2)^4 - 2(2)^2 + 3 = 11

5. Найдите точки экстремума и значения функции f(x) в этих точках.

Так как производная меняет знак с (-) на (+) в точке x = 0, у нас есть локальный минимум f(0) = 3.

6. Постройте график функции f(x) на отрезке [0;2].

Для построения графика функции f(x) = x^4 - 2x^2 + 3 на отрезке [0;2] можно использовать программное обеспечение или онлайн-инструменты, такие как Desmos или Wolfram Alpha.