Question

Докажите что 10^70 - 19 ^ 2 кратно 27

Answer 1

1 способ

$10^{70}-19^2=100^{35}-19^2\equiv (-8)^{35}-(-8)^2 (mod \: 27)=-8^2(8^{33}+1)=-64((19*27-1)^{11}+1) \equiv -64((-1)^{11}+1) (mod \: 27)=-64(-1+1)=0$

А значит $10^{70}-19^2$ кратно 27.

Использованы свойства сравнения чисел по модулю

_______________________

2 способ

$10^{70}-19^2=99...9639$

Теперь разобьем число на "тройки" цифр, начиная справа, и найдем сумму чисел, образуемых этими тройками:

Т.к. $639+999+...+999+9=648+999*22=27*24+27*37*22=27*(24+37*22)$ делится на 27, то и исходное число делится на 27 (по признаку делимости)

Answer 2

Чтобы доказать, что число $10^{70} - 19^2$ кратно 27, нужно показать, что оно делится на 27 без остатка. Давайте разберемся с каждым из слагаемых.

Первое слагаемое: $10^{70}$

Разделим $10^{70}$ на 27, чтобы увидеть, является ли оно кратным 27:

$10^{70} \mod 27$

Чтобы упростить вычисление, воспользуемся малой теоремой Ферма:

$a^{p-1} \equiv 1 \mod p$

Здесь $p$ - простое число, а $a$ не делится на $p$.

В данном случае, 27 не является простым числом, но мы можем разложить его на простые множители:

$27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3$

Теперь мы можем использовать малую теорему Ферма для числа 10:

$10^{3-1} \equiv 1 \mod 3$

Это означает, что $10^2$ имеет остаток 1 при делении на 3.

Теперь мы знаем, что $10^2 \equiv 1 \mod 3$, поэтому можно записать:

$10^{70} \equiv (10^2)^{35} \equiv 1^{35} \equiv 1 \mod 3$

То есть $10^{70}$ даёт остаток 1 при делении на 3.

Следовательно, $10^{70}$ можно представить в виде:

$10^{70} = 3k + 1$, где $k$ - целое число.

Второе слагаемое: $19^2$

Вычислим $19^2$ и проверим его остаток при делении на 27:

$19^2 = 361$

$361 \mod 27 = 1$

$19^2$ даёт остаток 1 при делении на 27.

Таким образом, можно записать:

$19^2 = 27m + 1$, где $m$ - целое число.

Теперь, найдём разность:

$10^{70} - 19^2 = (3k + 1) - (27m + 1) = 3k - 27m$

Мы видим, что разность является разностью двух кратных 3 чисел, следовательно, она также кратна 3.

Теперь нам нужно проверить, делится ли разность на 9.

Разность делится на 9, если и только если оба слагаемых кратны 9.

Мы уже знаем, что $10^{70}$ делится на 9, так как это кратное 3 число.

Теперь проверим, делится ли $19^2$ на 9:

$19^2 = 361$

$361 \mod 9 = 1$

$19^2$ даёт остаток 1 при делении на 9, поэтому оно не кратно 9.

Таким образом, разность $10^{70} - 19^2$ не делится на 9 и, следовательно, не кратна 27.

Мы можем заключить, что $10^{70} - 19^2$ не является кратным 27.