Question

Доказать что при любом натуральном n значение выражения 13²n+¹+1 кратное 14

Answer 1

Ответ:

Так как один из множителей делится на 14, то и все выражение делится на 14.

Объяснение:

13²ⁿ+¹ + 1 = (13 + 1)( 13²ⁿ - 13²ⁿ¯¹ + 13²ⁿ¯² - ... + 13² - 13 + 1) = 14( 13²ⁿ - 13²ⁿ¯¹ + 13²ⁿ¯² - ... + 13² - 13 + 1).

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $13^{2n+1}+1$ кратно 14 при любом натуральном $n$, можно воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая Для $n = 1$ значение выражения равно $13^{2(1)+1}+1 = 13^3 + 1 = 2197 + 1 = 2198$. Из-за того, что $2198$ делится на $14$ без остатка ($2198 = 14 \times 157$), базовый случай верен.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что при некотором натуральном $k$ значение выражения $13^{2k+1}+1$ делится на $14$ без остатка.

Шаг 3: Доказательство для $n = k+1$ Теперь докажем, что при $n = k+1$ значение выражения $13^{2(k+1)+1}+1$ также делится на $14$ без остатка.

$13^{2(k+1)+1}+1 = 13^{2k+3}+1 = 13^{2k+1} \times 13^2 + 1 = (13^{2k+1}+1) \times 13^2$

Мы знаем, что $13^{2k+1}+1$ делится на $14$ без остатка (согласно предположению индукции). Теперь давайте рассмотрим $13^2$:

$13^2 = 169$

Таким образом, $13^{2(k+1)+1}+1 = (13^{2k+1}+1) \times 13^2 = (14 \times a) \times 169$, где $a$ - некоторое целое число (потому что $13^{2k+1}+1$ делится на 14 без остатка, а 169 - это 13^2).

Следовательно, $13^{2(k+1)+1}+1$ делится на $14$ без остатка, и утверждение доказано.

Таким образом, мы доказали, что при любом натуральном $n$ значение выражения $13^{2n+1}+1$ кратно $14$.