Question

Решите уравнение Cos2x- корень из 2 cos (pi/2+x)+1=0 Найдите корни принадлежащие отрезку (-5pi;-7pi/2)

Answer 1

cos(pi/2+x)=-sinx

cos2x=1-2sin^2x

1-2sin^2x+√2*sinx+1=0

sinx=t

1-2t^2+t√2+1=0

-2t^2+t√2+2=0

D=2-4*2(-2)=18

t1=(-√2+3√2)/(-4)=2V2/(-4)=-V2/2

sinx=-√2/2; x=-pi/4=2pik и x=-3pi/4+2pik

t2=(-√2-3√2)/(-4)=√2-не подходит так как |t|≤1

смотрю корни на интервале от -5pi до -3.5pi

это будут x=-5pi+pi/4=-19pi/4

и x=-5pi+3pi/4=-17pi/4

Answer 2

Для решения данного уравнения, нам нужно найти значения угла x, которые удовлетворяют уравнению на заданном отрезке (-5π, -7π/2).

Давайте решим уравнение шаг за шагом:

Cos(2x) - √2 cos(π/2 + x) + 1 = 0

Мы можем заметить, что √2 = cos(π/4), поэтому заменим √2 на cos(π/4):

Cos(2x) - cos(π/4) cos(π/2 + x) + 1 = 0

Используем формулу для произведения косинусов:

Cos(2x) - (sin(π/4)sin(π/2 + x) + cos(π/4)cos(π/2 + x)) + 1 = 0

Теперь раскроем скобки:

Cos(2x) - (sin(π/4)sin(π/2)cos(x) + sin(π/4)cos(π/2)sin(x) + cos(π/4)cos(π/2)cos(x) - cos(π/4)sin(π/2)sin(x)) + 1 = 0

Упростим это выражение:

Cos(2x) - (1/√2 * 1 * cos(x) + 1/√2 * 0 * sin(x) + 1/√2 * 0 * cos(x) - 1/√2 * 1 * sin(x)) + 1 = 0

Теперь объединим подобные слагаемые:

Cos(2x) - (1/√2 * cos(x) - 1/√2 * sin(x)) + 1 = 0

Распишем cos(2x) с использованием формулы двойного угла:

2cos^2(x) - 1 - (1/√2 * cos(x) - 1/√2 * sin(x)) + 1 = 0

2cos^2(x) - 1 - 1/√2 * cos(x) + 1/√2 * sin(x) + 1 = 0

Теперь соберем все слагаемые вместе:

2cos^2(x) - 1/√2 * cos(x) + 1/√2 * sin(x) = 0

Для удобства обозначим cos(x) = a и sin(x) = b:

2a^2 - (1/√2)a + (1/√2)b = 0

Умножим уравнение на √2 для избавления от дробей:

2√2a^2 - a + b = 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение относительно переменной a:

2√2a^2 - a + b = 0

a = (1 ± √(1 - 4 * 2√2 * b))/(4√2)

Теперь заменим a обратно на cos(x) и b на sin(x):

cos(x) = (1 ± √(1 - 4 * 2√2 * sin(x)))/(4√2)

Решение данного тригонометрического уравнения достаточно сложно и не может быть решено в явном виде. Для нахождения корней уравнения, требуется применить численные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления.

Я рекомендую использовать численный метод для приближенного решения данного уравнения.