Question

Решите в целых числах уравнение x²-xy-2y²=7​

Answer 1

$x^2-xy-2y^2=x^2-y^2-xy-y^2=(x-y)(x+y)-y(x+y)=\\=(x+y)(x-y-y)=(x+y)(x-2y)$

Мы разложили левую часть на два множителя. Число 7 — простое, поэтому оно может раскладываться ровно на две пары целых множителей: (1; 7) и (–1, –7). Тогда получим четыре системы:

Первая система:

$\begin{cases}x+y=1\\x-2y=7 \end{cases}\\\begin{cases} x=1-y\\1-y-2y=7\end{cases}\\-3y=6\\y=-2\\x=1-y=3$

Вторая система:

$\begin{cases}x+y=7\\x-2y=1\end{cases}\\\begin{cases}x=7-y\\7-y-2y=1\end{cases}\\-3y=-6\\y=2\\x=7-y=5$

Третья система:

$\begin{cases}x+y=-1\\x-2y=-7\end{cases}\\\begin{cases}x=-1-y\\-1-y-2y=-7\end{cases}\\1+y+2y=7\\3y=6\\y=2\\x=-1-y=-3$

Четвёртая система:

$\begin{cases}x+y=-7 \\ x-2y=-1\end{cases}\\\begin{cases}x=-7-y \\ -7-y-2y=-1\end{cases}\\7+y+2y=1\\3y=-6\\y=-2\\x=-7-y=-5$

Ответ: (3; –2), (–3; 2), (5; 2), (–5; –2).

P. S. Третью и четвёртую систему можно было бы не расписывать, если заметить, что при одновременной замене $x \rightarrow -x$ и $y \rightarrow -y$ значение выражения $x^2-xy-2y^2$ не изменится. Это означает, что если (x; y) является решением, то (–x; –y) тоже является решением.

Answer 2

Для решения данного уравнения в целых числах можно воспользоваться методом пристального взгляда или методом замены переменных.

Давайте воспользуемся методом замены переменных. Предположим, что x = y + k, где k - некоторое целое число. Подставим это значение в исходное уравнение:

(y + k)² - (y + k)y - 2y² = 7.

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

y² + 2ky + k² - y² - ky - 2y² = 7, k² - ky - 2y² = 7.

Теперь у нас есть уравнение только с одной переменной y. Мы можем решить его, используя различные методы, например, метод подстановки или факторизацию.

Предположим, что y = m + n, где m и n - некоторые целые числа. Подставим это значение в уравнение k² - ky - 2y² = 7:

k² - k(m + n) - 2(m + n)² = 7.

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

k² - km - kn - 2(m² + 2mn + n²) = 7, k² - km - kn - 2m² - 4mn - 2n² = 7, k² - (m + n)k - 2(m² + 2mn + n²) = 7.

Теперь мы получили уравнение только с переменной k. Мы можем решить его, применяя те же методы, что и выше.

Таким образом, решение уравнения x² - xy - 2y² = 7 в целых числах требует дальнейшего анализа и применения методов замены переменных.