Question

Найдите натуральное число n такое, что у многочлена, равного (1+x^5+x^7)^n, коэффициент при x^17 равен 858.

Answer 1

Ответ:

n=13

Объяснение:

Подробности в приложении.

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно найти значение натурального числа n, при котором коэффициент при x^17 в многочлене (1+x^5+x^7)^n равен 858.

Давайте разложим многочлен (1+x^5+x^7)^n с помощью биномиальной теоремы. Коэффициент при x^17 в разложении будет равен сумме всех произведений членов вида (1^a)(x^5)^b(x^7)^c, где a, b и c — неотрицательные целые числа, удовлетворяющие условию a + 5b + 7c = 17.

Теперь представим число 858 в виде произведения простых множителей: 858 = 2 * 3 * 11 * 13.

Для каждого из простых множителей найдем соответствующие значения a, b и c:

1. Для множителя 2: (1^0)(x^5)^2(x^7)^1 = x^5*x^7 = x^12
2. Для множителя 3: (1^0)(x^5)^3(x^7)^0 = x^15
3. Для множителя 11: (1^2)(x^5)^0(x^7)^1 = x^7
4. Для множителя 13: (1^0)(x^5)^1(x^7)^1 = x^5*x^7 = x^12

Теперь посмотрим, какие комбинации простых множителей дадут нам x^17:

1. x^12 * x^5 = x^17 (2 * 13 = 26)
2. x^15 * x^2 = x^17 (3 * 11 = 33)

Теперь нам нужно учесть множитель n для каждой из этих комбинаций:

1. n * 2 * 13 = 858
2. n * 3 * 11 = 858

Теперь найдем значение n, которое удовлетворяет условиям:

1. n * 26 = 858 => n ≈ 33
2. n * 33 = 858 => n ≈ 26

Таким образом, существует два значения n, при которых коэффициент при x^17 равен 858: n ≈ 26 или n ≈ 33.