Question

Докажите тождество cos^4a+2sin^2a-sin^4a=1

Answer 1

cos⁴a+2sin²a-sin⁴a=((cos²a)²-(sin²a)²)+2sin²a=((cos²a- sin²a))*((cos²a+sin²a))+

2sin²a=(cos²a- sin²a)*1+2sin²a=cos²a+sin²a=1

1=1 Доказано.

Answer 2

Давайте приступим к доказательству тождества. Используя формулу двойного угла, мы можем выразить квадраты синуса и косинуса через синус и косинус удвоенного угла:

sin(2a) = 2sin(a)cos(a) cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)

Теперь мы можем заменить cos^2(a) и sin^2(a) в исходном тождестве:

cos^4(a) + 2sin^2(a) - sin^4(a) = (cos^2(a))^2 + 2(sin^2(a)) - (sin^2(a))^2 = (cos^2(a))^2 + 2(sin^2(a)) - (1 - cos^2(a))^2 = (cos^2(a))^2 + 2(sin^2(a)) - (1 - 2cos^2(a) + (cos^2(a))^2) = (cos^2(a))^2 + 2sin^2(a) - 1 + 2cos^2(a) - (cos^2(a))^2 = 2cos^2(a) + 2sin^2(a) - 1

Согласно тождеству Пифагора sin^2(a) + cos^2(a) = 1, мы можем заменить сумму квадратов синуса и косинуса на 1:

2cos^2(a) + 2sin^2(a) - 1 = 2 - 1 = 1

Таким образом, мы доказали, что cos^4(a) + 2sin^2(a) - sin^4(a) = 1, исходное тождество верно.