Question

Найти производную функции 1) x^2/x^3+1 2)lnx/1-x

Answer 1

$1)\; \; y=\frac{x^2}{x^3+1}\\\\y'=\frac{2x\cdot (x^3+1)-x^2\cdot 3x^2}{(x^3+1)^2}=\frac{-x^4+2x}{(x^3+1)^2}=\frac{x\, (2-x^3)}{(x^3+1)^2}\\\\\\2)\; \; y=\frac{lnx}{1-x}\\\\y'=\frac{\frac{1}{x}\cdot (1-x)-lnx\cdot (-1)}{(1-x)^2}=\frac{\frac{1}{x}-1+lnx}{(1-x)^2}=\frac{1-x+x\cdot lnx}{x\, (1-x)^2}$

Answer 2

Давайте найдем производную данных функций.

1. Функция: f(x) = x^2/(x^3 + 1)

Для нахождения производной данной функции воспользуемся правилом деления функций и цепным правилом производной.

f(x) = u(x)/v(x), где u(x) = x^2 и v(x) = x^3 + 1.

Тогда производная f'(x) будет равна:

f'(x) = (u'(x)v(x) - v'(x)u(x)) / v(x)^2.

Давайте найдем производные u'(x) и v'(x):

u'(x) = d/dx(x^2) = 2x, v'(x) = d/dx(x^3 + 1) = 3x^2.

Теперь подставим значения в формулу производной:

f'(x) = (2x * (x^3 + 1) - 3x^2 * x^2) / (x^3 + 1)^2.

После упрощения получим:

f'(x) = (2x^4 + 2x - 3x^4) / (x^3 + 1)^2.

f'(x) = (-x^4 + 2x) / (x^3 + 1)^2.

2. Функция: f(x) = ln(x) / (1 - x)

Аналогично, для нахождения производной воспользуемся правилом деления функций и цепным правилом производной.

f(x) = u(x)/v(x), где u(x) = ln(x) и v(x) = 1 - x.

Тогда производная f'(x) будет равна:

f'(x) = (u'(x)v(x) - v'(x)u(x)) / v(x)^2.

Давайте найдем производные u'(x) и v'(x):

u'(x) = d/dx(ln(x)) = 1/x, v'(x) = d/dx(1 - x) = -1.

Теперь подставим значения в формулу производной:

f'(x) = (1/x * (1 - x) - (-1) * ln(x)) / (1 - x)^2.

После упрощения получим:

f'(x) = (1 - x + ln(x)) / (x(1 - x))^2.

f'(x) = (1 - x + ln(x)) / (x^2 - 2x + x^3).

Пожалуйста, обратите внимание, что это окончательные производные данных функций.