Question

В треугольнике АВС, заданном координатами вершин: А (7, 9), В (9, -6), С (8, 10), найти уравнение и длину прямой, проходящей через точку С параллельно стороне АВ.

Answer 1

находим уравнение стороны AB:

A(7;9); B(9;-6)

уравнение прямой на плоскости через две точки:

$\frac{x-x_1}{x_2-x_1} =\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$

Подставим координаты точек:

$\frac{x-7}{9-7} =\frac{y-9}{-6-9}$

приведем уравнение к виду y=kx+b:

$\frac{x-7}{2} =\frac{y-9}{-15}\\-15x+105=2y-18\\2y=-15x+123\\y=-\frac{15}{2} +\frac{123}{2}$

угловой коэффицент данной прямой:

k=$-\frac{15}{2}$

Если у прямых равны угловые коэффициенты, то они параллельны.

Составляем уравнение прямой с угловым коэффициентом k=-15/2 и проходящую через точку C(8;10)

$y=kx+b\\10=8*(-\frac{15}{2})+b\\b=10+60=70\\y=-\frac{15}{2}x+70\\2y+15x-140=0$

Находим уравнение стороны BC:

$\frac{x-9}{8-9} =\frac{y+6}{10+6} \\16x-144=-y-6\\y=-16x+138\\y+16x-138=0$

Находим точку пересечения прямых y+16x-138=0 и 2y+15x-140=0:

$\left \{ {{y+16x-138=0} \atop {2y+15x-140=0}} \right. \\\left \{ {{-2y-32x+276=0} \atop {2y+15x-140=0}} \right. \\-2y-32x+276+2y+15x-140=0\\136-17x=0\\ 17x=136\\x=8\\y+16*8-138=0\\y-10=0\\y=10$

Прямая 2y+15x-140=0 пересекается с BC в точке C и параллельна стороне AB=>  эта прямая касается треугольника ABC в точке C, и ее длина в этом треугольнике равна нулю.

Ответ:

1) 2y+15x-140=0

2) L=0

Answer 2

Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку С и параллельной стороне АВ, мы должны сначала найти вектор направления этой стороны, а затем использовать его для построения уравнения прямой.

Шаг 1: Найдем вектор направления стороны АВ. Для этого вычислим разницу координат точек А и В:

Вектор AB = (9 - 7, -6 - 9) = (2, -15).

Шаг 2: Построим уравнение прямой, проходящей через точку С и имеющей вектор направления AB.

Общее уравнение прямой можно записать в виде: y - y₁ = m(x - x₁),

где (x₁, y₁) - координаты точки С, m - угловой коэффициент прямой (равен отношению изменения y к изменению x, и в данном случае равен -15/2).

Подставим координаты точки С (8, 10) и угловой коэффициент m = -15/2 в уравнение:

y - 10 = (-15/2)(x - 8).

Теперь приведем уравнение к стандартной форме y = mx + b:

y = (-15/2)x + 60 + 10, y = (-15/2)x + 70.

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку С и параллельной стороне АВ, равно y = (-15/2)x + 70.

Шаг 3: Найдем длину прямой от точки С до пересечения с стороной АВ.

Для этого мы можем найти перпендикулярный вектор к AB и его точку пересечения с прямой, проходящей через С. Затем, найдем расстояние между точкой С и точкой пересечения.

Перпендикулярный вектор к AB имеет координаты (15, 2), что получено путем поменяв знаки и поменяв местами координаты исходного вектора AB и затем умножив вторую координату на -1.

Теперь у нас есть уравнение прямой, проходящей через точку С (8, 10) и имеющей направляющий вектор (15, 2). Обозначим это уравнение как y = mx + b.

Мы можем использовать метод пересечения прямых, чтобы найти точку пересечения C' (x', y') между стороной AB и прямой, проходящей через С:

(-15/2)x' + 70 = 2x' + y' (подставили уравнение прямой и приравняли y) (-15/2)x' - 2x' = y' - 70 -19x'/2 = y' - 70 y' = -19x'/2 + 70.

Теперь найдем точку пересечения C', приравняв уравнение прямой к стороне AB:

2x' + y' = -6.

Теперь решим эту систему уравнений:

-19x'/2 + 70 = 2x' + 6 -19x'/2 - 2x' = 6 - 70 -23x'/2 = -64 x' = (2 * 64) / 23 x' ≈ 3.478.

Теперь найдем y' с помощью уравнения прямой:

y' = -19 * 3.478 / 2 + 70 ≈ -36.13.

Таким образом, точка пересечения C' стороны AB и прямой, проходящей через С, приблизительно равна (3.478, -36.13).

Наконец, найдем длину прямой от С до C':

Длина = √((x' - xₛ)² + (y' - yₛ)²), где (xₛ, yₛ) - координаты точки С (8, 10).

Длина = √((3.478 - 8)² + (-36.13 - 10)²) Длина ≈ √(20.41 + 1280.81) Длина ≈ √1301.22 Длина ≈ 36.08.

Таким образом, длина прямой от точки С до пересечения с стороной AB приблизительно равна 36.08.