Question

Y=(x-2)^2 e^xПожалуйста помогите найти экстремумы функции ​

Answer 1

Точки экстремума - точки минимумов и максимумов функции. Чтобы их узнать, нам нужно сначала знать как меняется функция. Производная показывает как меняется функция.

y' = ((x-2)^2 * e^x)'

По формуле нахождения производной при умножении:

(ab)' = a'b + ab'

y' = ((x-2)^2)' * e^x + (x - 2)^2 * (e^x)'

Как найти производную от (x - 2)^2? Это табличное значение:

(x^2)' = 2x

Но у нас не x^2. У нас усложнённый аргумент, он равен (x - 2) поэтому, по правилу нахождения производных для функций с усложнённым аргументом, мы домножаем на производную аргумента.

((x - 2^2))' = 2(x - 2) * (x - 2)'

По формуле для нахождения производный при вычитании:

(a - b)' = a' - b'

2(x - 2) * (x - 2)' = 2(x - 2) * ((x)' - (2)')

По формулам:

x' = 1

C' = 0, где C - константа, то есть, постоянное число.

2(x - 2) * ((x)' - (2)') = 2(x - 2) * (1 - 0) = 2(x - 2) * 1 = 2(x - 2)

Теперь разберёмся со второй производной, так же по табличному значению:

(e^x)' = e^x

Запишем полученное выражение

y' = 2(x - 2) * e^x + (x - 2)^2 * e^x

Вынесем общий множитель за скобку

y' = e^x * (2(x - 2) + (x - 2)^2)

Раскроем квадрат по формуле квадрата разности:

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4

y' = e^x * (2(x - 2) + (x^2 - 4x + 4))

y' = e^x * (2x - 4 + x^2 - 4x + 4)

y' = e^x * (x^2 - 4x + 2x + 4 - 4)

y' = e^x * (x^2 - 2x)

Мы нашли производную функции. Теперь про экстремумы: они находятся на оси x, то есть, когда y = 0 (У ПРОИЗВОДНОЙ!!!)

e^x * (x^2 - 2x) = 0

e^x = 0

Такое невозможно, потому что любое число отличное от нуля в любой степени никогда не даст ноль

x^2 - 2x = 0

x(x - 2) = 0

x = 0

x - 2 = 0

x = 2

Нас не просят определить точку максимума или минимума, поэтому на этом мы остановимся. Если тебя спросят найти найти ЗНАЧЕНИЕ функции в точках минимума или максимума, то просто подставь эти точки в ИСХОДНУЮ функцию.

Ответ: 0 и 2

Answer 2

Чтобы найти экстремумы функции Y = (x - 2)^2 * e^x, нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Давайте найдем производную функции Y по переменной x и приравняем ее к нулю:

Y = (x - 2)^2 * e^x

Дифференцируем обе стороны по x с помощью правила производной произведения функций:

Y' = (2(x - 2) * e^x) + ((x - 2)^2 * e^x)

Теперь приравняем Y' к нулю и решим полученное уравнение:

0 = (2(x - 2) * e^x) + ((x - 2)^2 * e^x)

0 = e^x * (2(x - 2) + (x - 2)^2)

0 = e^x * (2x - 4 + x^2 - 4x + 4)

0 = e^x * (x^2 - 2x)

Так как e^x всегда положительно, то уравнение можно упростить:

0 = x^2 - 2x

Факторизуем полученное квадратное уравнение:

0 = x(x - 2)

Таким образом, получаем два значения x, которые могут быть экстремумами функции: x = 0 и x = 2.

Чтобы определить, являются ли эти значения экстремумами максимума или минимума, можно проанализировать вторую производную функции. Однако, чтобы вычислить вторую производную, пожалуйста, уточните, какая функция у вас в исходном выражении: Y = (x - 2)^2 * e^x или Y = (x - 2)^2 * (e^x).