Question

Используя свойство монотонности функций, решите уравнение x^3+9x=26

Answer 1

Функция стоящая слева: f(x) = x³ + 9x является возрастающей как сумма двух возрастающих функций. С прямой y = 26 кривая пересекается в одной точке, т.е. корень единственный. Подбором находим x = 2

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать свойство монотонности функций. Перепишем уравнение в виде x^3 + 9x - 26 = 0.

Обозначим f(x) = x^3 + 9x - 26. Заметим, что функция f(x) является непрерывной и монотонно возрастающей на всей числовой прямой. Мы можем использовать метод половинного деления (бисекции), чтобы найти корень уравнения.

Для этого выберем два значения x1 и x2 такие, что f(x1) < 0 и f(x2) > 0. Затем найдем середину интервала [x1, x2] и вычислим f(xmid). Если f(xmid) ближе к 0, чем некоторая заранее заданная точность epsilon, то xmid является приближенным значением корня уравнения. Если f(xmid) < 0, выбираем xmid как новое значение x1, иначе выбираем xmid как новое значение x2. Повторяем этот процесс до тех пор, пока не достигнем заданной точности.

Применяя этот метод к уравнению x^3 + 9x - 26 = 0, выберем начальные значения x1 = 2 и x2 = 3, так как f(2) = -8 и f(3) = 34.

Найдем середину интервала: xmid = (x1 + x2) / 2 = (2 + 3) / 2 = 2.5.

Вычислим f(xmid): f(2.5) = (2.5)^3 + 9(2.5) - 26 ≈ 2.375.

Так как f(xmid) > 0, мы выбираем xmid = 2.5 как новое значение x2 и продолжаем процесс.

Найдем новую середину интервала: xmid = (x1 + x2) / 2 = (2 + 2.5) / 2 = 2.25.

Вычислим f(xmid): f(2.25) = (2.25)^3 + 9(2.25) - 26 ≈ -0.234375.

Так как f(xmid) ближе к 0, чем наша заданная точность epsilon, xmid = 2.25 является приближенным значением корня уравнения.

Следовательно, приближенное значение корня уравнения x^3 + 9x = 26 равно x ≈ 2.25.