Question

Дана правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S. Найдите угол между высотой пирамиды и ребром SA, если высота пирамиды равна 9, а сторона основания пирамиды 3.

Answer 1

Ответ:

$arctg3\sqrt{3} .$

Объяснение:

Поскольку пирамида правильная, прямая, содержащая высоту пирамиды, пересекает плоскость основания в центре описанной около основания окружности.

Вычислим радиус этой окружности:

$R=\frac{a}{\sqrt{3} } =\frac{3}{\sqrt{3} } =\sqrt{3} .$

Этот радиус, проведённый в точку A, вместе с ребром SA и высотой образуют прямоугольный треугольник. Тогда:

$tg\alpha =\frac{9 }{\sqrt{3} } =3\sqrt{3} => \alpha =arctg3\sqrt{3}$.

Answer 2

Чтобы найти угол между высотой пирамиды и ребром SA, давайте обратимся к геометрическим свойствам правильной треугольной пирамиды.

Обозначим высоту пирамиды как SH, где H - проекция вершины S на плоскость основания ABC. Также обозначим середину стороны BC как M.

Поскольку пирамида SABC - правильная, то основание ABC - правильный треугольник, и сторона BC равна 3 единицам.

Таким образом, треугольник SHM - прямоугольный треугольник, где SH - высота пирамиды, HM - половина стороны основания, а SM - ребро пирамиды.

Мы знаем длину высоты пирамиды SH (9 единиц) и длину стороны основания BC (3 единицы). Чтобы найти ребро пирамиды SM, воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника SHM:

SH^2 = SM^2 + HM^2

9^2 = SM^2 + (3/2)^2

81 = SM^2 + 9/4

SM^2 = 81 - 9/4

SM^2 = 324/4 - 9/4

SM^2 = 315/4

SM = √(315/4)

SM = √315 / 2 ≈ 8.92

Теперь у нас есть длина ребра SM, и мы можем найти угол между высотой пирамиды и ребром SA, используя тангенс угла:

tan(угол) = SH / SM

tan(угол) = 9 / 8.92

угол = arctan(9 / 8.92)

угол ≈ 44.86°

Таким образом, угол между высотой пирамиды и ребром SA составляет приблизительно 44.86 градусов.