Question

При каких значениях параметра p система xy + (x-корень из xy - y) (x+ корень.из xy - y) =4-2xyx^2+p^2=коренб из y^2Не имеет решений. Помогите пожалуйста

Answer 1

Объяснение:

преобразовывая первое уравнение получаем:

$xy + {(x - y)}^{2} - {( \sqrt{xy}) }^{2} = 4 - 2xy \\ {x}^{2} - 2xy + {y}^{2} = 4 - 2xy \\ {x}^{2} + {y}^{2} = 4$

при условии xy>0

из второго уравнения:

${x}^{2} = |y|- {p}^{2}$

a)

при y>=0

${x}^{2} = y - {p}^{2}$

подставляем

${y}^{2} + y - ( {p}^{2} + 4) = 0 \\ d = 1 + 4( {p}^{2} + 4) = 4 {p}^{2} + 17 \geqslant 0$

при всех p дискриминант будет больше 0, поэтому решение квадратного уравнения будет при всех p.

уравнение не имеет решений только в том случае если корни уравнения будут y<0

это значит, что:

${0}^{2} + 0 - ( {p}^{2} + 4) > 0$

ни при каких p не будет соблюдаться неравенство

b)

при y<0

${x}^{2} = - y - {p}^{2}$

подставляем

${y}^{2} - y - ( {p}^{2} + 4) = 0 \\ d = {( - 1)}^{2} + 4( {p}^{2} + 4) = 4 {p}^{2} + 17 \geqslant 0$

при всех p дискриминант больше нуля, поэтому уравнение имеет решение при всех p.

уравнение не имеет решений только в том случае если корни уравнения будут y>0

это значит, что:

${0}^{2} - 0 - ( {p}^{2} + 4) > 0$

ни при каких p не будет соблюдаться неравенство.

Поэтому можно сделать вывод, что при любых p система будет иметь решение.

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение по частям и посмотрим, при каких значениях параметра p оно не имеет решений.

Уравнение 1: xy + (x - √(xy) - y)(x + √(xy) - y) = 4 - 2xy

Раскроем скобки в левой части уравнения: xy + (x - √(xy) - y)(x + √(xy) - y) = 4 - 2xy xy + (x^2 - xy - √(xy)x - xy + √(xy)y + yx - √(xy)y - y^2) = 4 - 2xy x^2 - xy - √(xy)x - xy + √(xy)y + yx - √(xy)y - y^2 = 4 - 2xy x^2 - √(xy)x - √(xy)y - y^2 = 4 - 2xy

Уравнение 2: x^2 + p^2 = √(y^2)

Воспользуемся уравнением 2 и возведем его в квадрат: (x^2 + p^2)^2 = y^2

Теперь сравним правую часть уравнений 1 и 2: x^2 - √(xy)x - √(xy)y - y^2 = 4 - 2xy (x^2 + p^2)^2 = y^2

Мы видим, что левые части равны, поэтому их правые части тоже должны быть равными: 4 - 2xy = (x^2 + p^2)^2

Давайте рассмотрим два случая:

Случай 1: Если y ≠ 0, то √(xy) ≠ 0.

Тогда мы можем поделить обе части уравнения на √(xy): 2 - 1/√(xy) = (x^2 + p^2)^2 / √(xy)

Так как 2 - 1/√(xy) является константой, правая часть тоже должна быть константой. Однако, выражение (x^2 + p^2)^2 / √(xy) зависит от x и y, что невозможно. Таким образом, при y ≠ 0 уравнение не имеет решений.

Случай 2: Если y = 0, то уравнение 1 превращается в 0 = 4 - 2xy, что верно при любых значениях x и y. Таким образом, при y = 0 уравнение имеет решения.

Итак, система уравнений не имеет решений только при условии y ≠ 0.