Question

Упростите выражение sin ^3 a cos a-sin a cos ^3 a​

Answer 1

sin ^3 α cos α-sin α cos ^3 α​=

= sin α cos α*(sin² α -cos² α​) =

= sin α cos α  (-cos 2α) = (2*sin α cos α  (-cos 2α) ) /2 =

= (- sin2αcos2α) /2 = 2(- sin2αcos2α) /4 = (- sin 4α)/4

Answer 2

$Sin^{3}\alpha Cos\alpha -Sin\alpha Cos^{3}\alpha=Sin\alpha Cos\alpha(Sin^{2}\alpha -Cos^{2}\alpha )=Sin\alpha Cos\alpha*(-Cos2\alpha)=-\frac{2Sin\alpha Cos\alpha Cos2\alpha}{2} =-\frac{Sin2\alpha Cos2\alpha}{2}=-\frac{2Sin2\alpha Cos2\alpha}{4}=-\frac{Sin4\alpha}{4}=-0,25Sin4\alpha$

Answer 3

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами двойного угла и приведения тригонометрических функций:

sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ) cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ)

Заметим, что в данном выражении можно применить формулы двойного угла следующим образом:

sin^3(a)cos(a) - sin(a)cos^3(a) = (sin^2(a)cos(a))(sin(a)) - (cos^2(a)sin(a))(cos(a))

Теперь применим формулу двойного угла для sin^2(a):

sin^2(a) = (1 - cos(2a))/2

Подставим это значение в исходное выражение:

[(1 - cos(2a))/2 * cos(a)] * sin(a) - [(cos^2(a)sin(a))(cos(a))]

Упрощаем:

[(1 - cos(2a)) * cos(a) * sin(a)]/2 - [cos^3(a) * sin(a)]

Применяем формулу двойного угла для cos(2a):

cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)

[(1 - (cos^2(a) - sin^2(a))) * cos(a) * sin(a)]/2 - [cos^3(a) * sin(a)]

Раскрываем скобки:

[(1 - cos^2(a) + sin^2(a)) * cos(a) * sin(a)]/2 - [cos^3(a) * sin(a)]

Упрощаем:

[(1 - cos^2(a) + sin^2(a)) * cos(a) * sin(a)]/2 - cos^3(a) * sin(a)

Теперь объединим слагаемые:

[cos(a) * sin(a) - cos^3(a) * sin(a) + sin^3(a) * cos(a)]/2

Итак, упрощенное выражение равно:

[cos(a) * sin(a) - cos^3(a) * sin(a) + sin^3(a) * cos(a)]/2