Question

В геометрическая прогрессии (Bn) найдите: а) S5, если b1=8, g=1/2 б) S7, если b1=5, g=2 в) S10, если b1+b5=51, b2+b6=102 г) S5, если b2-b1=18, b4-b3=162

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

а) S₅=8·(1-(1/2)⁵)/(1 -1/2)=8·(1 -1/32)/(2/2 -1/2)=8·(32/32 -1/32)/(1/2)=8·31·2/32=16·31/32=31/2=15,5

б) S₇=5·(1-2⁷)/(1-2)=5·(1-128)/(-1)=5·127=635

в) bₙ=b₁·qⁿ⁻¹

b₁+b₅=51; b₁+b₁q⁴=51; b₁(1+q⁴)=51

b₂+b₆=102; b₁q+b₁q⁵=102; b₁q(1+q⁴)=102

102/51=2; 2b₁(1+q⁴)=2·51; 2b₁(1+q⁴)=102

2b₁(1+q⁴)=b₁q(1+q⁴)

q=2

b₁=51/(1+q⁴)=51/(1+2⁴)=51/(1+16)=51/17=3

S₁₀=3·(1-2¹⁰)/(1-2)=3·(1-1024)/(-1)=3·1023=3069

г) bₙ=b₁·qⁿ⁻¹

b₁q-b₁=18; b₁(q-1)=18

b₁q³-b₁q²=162; b₁q²(q-1)=162

162/18=27/3=9; 9b₁(q-1)=9·18; 9b₁(q-1)=162

9b₁(q-1)=b₁q²(q-1)

q²=9

q₁=-3; q₂=3

При q₁=-3:

b₁=18/(q-1)=18/(-3-1)=18/(-4)=-9/2=-4,5

S₅=-9/2 ·(1-(-3)⁵)/(1-(-3))=-9/2 ·(1+243)/(1+3)=-9/2 ·244/4=-9/2 ·61=-549/2=-274,5

При q₂=3:

b₁=18/(3-1)=18/2=9

S₅=9·(1-3⁵)/(1-3)=9·(1-243)/(-2)=9·(-242)/(-2)=9·121=1089

Ответ: S₅=-274,5 при q₁=-3; S₅=1089 при q₂=3.

Answer 2

Для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии (S_n) с известным первым членом (b_1) и знаменателем прогрессии (g), используется следующая формула:

S_n = b_1 * (1 - g^n) / (1 - g)

Давайте решим каждую задачу по очереди:

а) Найдем S_5, если b_1 = 8 и g = 1/2:

S_5 = 8 * (1 - (1/2)^5) / (1 - 1/2) S_5 = 8 * (1 - 1/32) / (1/2) S_5 = 8 * (31/32) / (1/2) S_5 = 8 * 31/16 S_5 = 124/4 S_5 = 31

Ответ: S_5 = 31

б) Найдем S_7, если b_1 = 5 и g = 2:

S_7 = 5 * (1 - 2^7) / (1 - 2) S_7 = 5 * (1 - 128) / (-1) S_7 = 5 * (-127) / (-1) S_7 = -635

Ответ: S_7 = -635

в) Найдем S_10, если b_1 + b_5 = 51 и b_2 + b_6 = 102:

Первое уравнение: b_1 + b_5 = 51 Второе уравнение: b_2 + b_6 = 102

Для геометрической прогрессии с общим знаменателем g, мы знаем, что b_n = b_1 * g^(n-1).

Подставим в уравнения значения b_5 и b_6:

b_5 = b_1 * g^4 b_6 = b_1 * g^5

Теперь перепишем уравнения с использованием этих выражений:

b_1 + b_1 * g^4 = 51 b_1 + b_1 * g^5 = 102

Факторизуем b_1 из уравнений:

b_1 * (1 + g^4) = 51 b_1 * (1 + g^5) = 102

Теперь поделим второе уравнение на первое:

(1 + g^5) / (1 + g^4) = 102 / 51 1 + g = 2

Теперь зная g, можем найти b_1:

b_1 = (b_1 + b_1 * g^4) / (1 + g^4) = 51 / 2 = 25.5

Теперь можем найти S_10:

S_10 = b_1 * (1 - g^10) / (1 - g) S_10 = 25.5 * (1 - 2^10) / (1 - 2) S_10 = 25.5 * (1 - 1024) / (-1) S_10 = 25.5 * (-1023) / (-1) S_10 = 26011.5

Ответ: S_10 = 26011.5

г) Найдем S_5, если b_2 - b_1 = 18 и b_4 - b_3 = 162:

Заметим, что разность соседних членов геометрической прогрессии также образуют геометрическую прогрессию. Пусть разность прогрессии равна d.

Тогда имеем следующие уравнения:

b_2 - b_1 = d b_3 - b_2 = d b_4 - b_3 = d

Мы знаем, что b_n = b_1 * g^(n-1), где g - знаменатель прогрессии.

Теперь можем записать выражения для каждого члена:

b_2 = b_1 * g b_3 = b_1 * g^2 b_4 = b_1 * g^3

Теперь составим уравнения:

b_1 * g - b_1 = d b_1 * g^2 - b_1 * g = d b_1 * g^3 - b_1 * g^2 = d

Выразим b_1 из первого уравнения:

b_1 * g = d + b_1 b_1 = d / (g - 1)

Теперь можем найти S_5:

S_5 = b_1 * (1 - g^5) / (1 - g) S_5 = (d / (g - 1)) * (1 - g^5) / (1 - g)

Здесь нам недостаточно информации для точного вычисления S_5, так как нам неизвестны значения d и g.

Ответ: S_5 = (d / (g - 1)) * (1 - g^5) / (1 - g) (где d - разность прогрессии, g - знаменатель прогрессии).