Question

Доказать,что n^3-n делится на 6 при любом n€N

Answer 1

n³ - n = n(n² - 1) = n(n - 1)(n + 1) = (n - 1) * n * (n + 1)

Получили произведение трёх подряд идущих натуральных чисел. Из двух подряд идущих натуральных чисел хотя бы одно делится на 2, так как, если одно нечётное, то другое чётное. Из трёх подряд идущих натуральных чисел хотя бы одно делится на 3. Числа 2 и 3 взаимно обратные, значит это произведение делится на 2 * 3 = 6 при

любом n ∈ N .

Answer 2

Для доказательства этого утверждения можно воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая Для n = 1 утверждение n^3 - n делится на 6 выполняется, так как 1^3 - 1 = 1 - 1 = 0, что делится на 6.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что утверждение верно для некоторого k, т.е. k^3 - k делится на 6.

Шаг 3: Индукционный переход Докажем, что утверждение также верно для k + 1.

Рассмотрим выражение (k + 1)^3 - (k + 1): (k + 1)^3 - (k + 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k - 1 = k^3 + 3k^2 + 2k

Заметим, что первые два слагаемых k^3 и 3k^2 являются кратными 6, поскольку предположение индукции утверждает, что k^3 - k кратно 6.

Остается рассмотреть последнее слагаемое 2k. Чтобы доказать, что (k + 1)^3 - (k + 1) также делится на 6, необходимо показать, что 2k делится на 6.

Для того, чтобы 2k делилось на 6, k должно быть кратно 3. Таким образом, мы можем выбрать k = 3m, где m - некоторое целое число.

Тогда (k + 1)^3 - (k + 1) примет вид: (k + 1)^3 - (k + 1) = (3m + 1)^3 - (3m + 1) = 27m^3 + 27m^2 + 9m + 1 - 3m - 1 = 27m^3 + 27m^2 + 6m

Очевидно, что это выражение делится на 6, так как каждое слагаемое является кратным 6.

Таким образом, по методу математической индукции мы доказали, что n^3 - n делится на 6 для любого натурального числа n.