Question

Найдите производную функции y=ctg(1/2*п-2x) в точке x0=п/3

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$y=ctg(\frac{1}{2}\pi-2x)\\y'=-\frac{-2}{sin^2(\frac{\pi}{2}-2x)}\\y'(\frac{\pi }{3})=\frac{2}{sin^2(\frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{3})}=\frac{2}{sin^2(-\frac{\pi }{6})}=\frac{2}{\frac{1}{4}}=8$

Answer 2

Для нахождения производной функции y = ctg(1/2π - 2x) в точке x₀ = π/3, воспользуемся правилом дифференцирования функции композиции.

Правило дифференцирования функции композиции гласит: если у = f(g(x)), то y' = f'(g(x)) * g'(x).

В данном случае функция f(u) = ctg(u), а функция g(x) = 1/2π - 2x.

Найдем производные этих функций:

f'(u) = -csc²(u) * du/dx = -csc²(u) * (1/2π - 2x)' = -csc²(u) * (-2) = 2csc²(u),

g'(x) = -2.

Теперь подставим значения производных в формулу для производной функции композиции:

y' = f'(g(x)) * g'(x) = 2csc²(u) * (-2) = -4csc²(u),

где u = 1/2π - 2x.

Для нахождения производной в точке x₀ = π/3, подставим это значение вместо x в формулу:

u₀ = 1/2π - 2 * (π/3) = 1/2π - 2/3π = 3π/6π - 4/6π = (3π - 4) / 6π.

Теперь вычислим производную в точке x₀:

y'(x₀) = -4csc²(u₀) = -4csc²((3π - 4) / 6π).

Таким образом, производная функции y = ctg(1/2π - 2x) в точке x₀ = π/3 равна -4csc²((3π - 4) / 6π).