Question

Плииз, помогите решить найти cos 2a, если (sin a + 3 cos a)/(sin a - cos a)=3

Answer 1

$\frac{Sin\alpha+3Cos\alpha}{Sin\alpha-Cos\alpha}=3\\\\Sin\alpha+3Cos\alpha=3(Sin\alpha-Cos\alpha)\\\\Sin\alpha+3Cos\alpha=3Sin\alpha -3Cos\alpha\\\\6Cos\alpha=2Sin\alpha\\\\Sin\alpha=3Cos\alpha|:Cos\alpha\neq 0 \\\\tg\alpha=3\\\\1+tg^{2}\alpha=\frac{1}{Cos^{2}\alpha}\\\\Cos^{2}\alpha=\frac{1}{1+tg^{2} \alpha}=\frac{1}{1+3^{2}}=\frac{1}{10}\\\\Cos2\alpha=2Cos^{2}\alpha-1=2*\frac{1}{10}-1=-\frac{4}{5}=-0,8$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение и найдем значение cos 2a.

Исходное уравнение: (sin a + 3 cos a) / (sin a - cos a) = 3

Раскроем числитель: sin a + 3 cos a = 3(sin a - cos a)

Раскроем скобки: sin a + 3 cos a = 3 sin a - 3 cos a

Перенесем все слагаемые на одну сторону: sin a - 3 sin a + 3 cos a + 3 cos a = 0

Сгруппируем слагаемые: -2 sin a + 6 cos a = 0

Разделим на 2:

• sin a + 3 cos a = 0

Теперь мы имеем уравнение: sin a = 3 cos a

Разделим обе части уравнения на cos a: tan a = 3

Тангенс a равен 3. Теперь мы можем использовать определение тангенса:

tan a = sin a / cos a

Подставим значение в определение: 3 = sin a / cos a

Умножим обе части на cos a: 3 cos a = sin a

Теперь рассмотрим тригонометрическое тождество: sin^2 a + cos^2 a = 1

Воспользуемся им: (3 cos a)^2 + cos^2 a = 1

Раскроем скобки: 9 cos^2 a + cos^2 a = 1

Сгруппируем слагаемые: 10 cos^2 a = 1

Разделим обе части на 10: cos^2 a = 1/10

Возьмем квадратный корень от обеих сторон: cos a = ±√(1/10)

Так как sin a = 3 cos a, то sin a ≠ 0. Следовательно, cos a ≠ 0. То есть, мы не можем выбрать cos a = 0. Значит, остается только положительное значение:

cos a = √(1/10)

Теперь мы можем найти cos 2a, используя тригонометрическую формулу:

cos 2a = cos^2 a - sin^2 a

Подставим значения: cos 2a = (√(1/10))^2 - (3 cos a)^2 cos 2a = 1/10 - 9/10 cos 2a = -8/10 cos 2a = -4/5

Таким образом, cos 2a = -4/5.