Question

Линейная алгебра Решить систему уравнений и выделить общее решение соответствующей однородной системы и частное решение неоднородной. 6х-14y+17z+36t=33 12x-28y+28z+27t=72 18x-42y+39z+18t=111 С разъяснением, пошагово

Answer 1

Решить систему уравнений $\left\{\begin{matrix}6x-14y+17z+36t=33, \\ 12x-28y+28z+27t=72, \\ 18x-42y+39z+18t=111\end{matrix}\right.$ и выделить общее решение соответствующей однородной системы и частное решение неоднородной.

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и будем выполнять элементарные преобразования строк данной матрицы.

$\overline{A} =\begin{pmatrix}\begin{matrix}6 \\ 12 \\ 18 \end{matrix} \ \ \begin{matrix}-14 \\ -28 \\ -42 \end{matrix} \ \ \begin{matrix}17 \\ 28 \\ 39 \end{matrix} \ \ \begin{matrix}36 \\ 27 \\ 18 \end{matrix} \ \begin{matrix}| \\ | \\ |\end{matrix} \ \begin{matrix}33 \\ 72 \\ 111 \end{matrix}\end{pmatrix} \sim$  $\begin{pmatrix}\begin{matrix}6 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \ \ \begin{matrix}-14 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \ \ \begin{matrix}17 \\ -6 \\ -12 \end{matrix} \ \ \begin{matrix}36 \\ -45 \\ -90 \end{matrix} \ \begin{matrix}| \\ | \\ |\end{matrix} \ \begin{matrix}33 \\ 6 \\ 12 \end{matrix}\end{pmatrix} \sim$  $\begin{pmatrix}\begin{matrix}6 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \ \ \begin{matrix}-14 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \ \ \begin{matrix}17 \\ 6 \\ 0 \end{matrix} \ \ \begin{matrix}36 \\ 45 \\ 0 \end{matrix} \ \begin{matrix}| \\ | \\ |\end{matrix} \ \begin{matrix}33 \\ -6 \\ 0 \end{matrix}\end{pmatrix}.$

Вычислим ранг данной матрицы: $\text{Rg} \ \overline{A} = r = 2 < n = 4,$ где $n$ - число неизвестных. Система имеет нетривиальные решения. Базисный минор $\begin{vmatrix}-14 \ \ 17 \\ \ \ 0 \ \ \ \ 6\end{vmatrix}.$

Ставим в соответствие расширенной матрице упрощенную систему:

$\left \{ {\bigg{6x - 14y + 17z + 36t = 33,} \atop \bigg{6z + 45t = -6, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

где $y, \ z$ - базисные переменные, $x, \ t$ - свободные переменные.

Положив значения свободных переменных $x, \ t$ равными нулю, получим частное решение неоднородной системы: $x=0, \ y = -\dfrac{25}{7}, \ z = -1, \ t = 0.$

$\left \{ {\bigg{6x - 14y = 33-36t-17z,} \atop \bigg{z = \dfrac{-6-45t}{6}; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

$\left \{ {\bigg{6x - 14y = 33-36t-17(-1-7,5t) =50+91,5t,} \atop \bigg{z = -1-7,5t; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

$\left \{ {\bigg{y=\dfrac{6x-50-91,5t}{14}, } \atop \bigg{z=-1-7,5t. \ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

Общее решение: $y = \dfrac{6x-50-91,5t}{14}, \ z = -1-7,5t, \ x \in R, \ t \in R.$

Ответ:  $y = \dfrac{6x-50-91,5t}{14}, \ z = -1-7,5t, \ x \in R, \ t \in R$ - общее решение; $x=0, \ y = -\dfrac{25}{7}, \ z = -1, \ t = 0$ - частное решение.

Answer 2

Для решения данной системы уравнений мы воспользуемся методом Гаусса-Жордана, который позволяет привести матрицу системы к ступенчатому виду. Затем мы сможем выразить значения переменных и найти общее решение однородной системы и частное решение неоднородной.

Шаг 1: Запись расширенной матрицы системы

Начнем с записи расширенной матрицы системы, где в столбце справа от вертикальной черты находятся свободные члены:

[ 6 -14 17 36 | 33 ] [ 12 -28 28 27 | 72 ] [ 18 -42 39 18 | 111 ]

Шаг 2: Приведение матрицы к ступенчатому виду

Используем элементарные преобразования строк матрицы для приведения ее к ступенчатому виду. Наша цель - привести все элементы ниже главной диагонали к нулю.

2 * (строка 1) - (строка 2) -> (строка 2) 3 * (строка 1) - (строка 3) -> (строка 3)

Матрица после преобразований:

[ 6 -14 17 36 | 33 ] [ 0 0 62 -45 | -6 ] [ 0 0 -14 -90 | -60 ]

Шаг 3: Приведение матрицы к улучшенному ступенчатому виду

Продолжим элементарные преобразования строк для приведения матрицы к улучшенному ступенчатому виду.

(1/62) * (строка 2) -> (строка 2) (14/62) * (строка 2) + (строка 3) -> (строка 3)

Матрица после преобразований:

[ 6 -14 17 36 | 33 ] [ 0 0 1 -45/62 | -6/62 ] [ 0 0 0 -81/62 | -66/62 ]

Шаг 4: Обратная подстановка

Из последней строки матрицы следует, что -81/62z - 66/62t = -66/62 или -81z - 66t = -66.

Теперь возвращаемся к уравнениям и поочередно выражаем переменные:

Уравнение 1: 6x - 14y + 17z + 36t = 33

Из уравнения 1 можно выразить x через y, z и t:

6x = 14y - 17z - 36t + 33 x = (14y - 17z - 36t + 33)/6

Уравнение 2: z = -45/62t - 6/62

Уравнение 3: -81z - 66t = -66

Из уравнения 3 можно выразить z через t:

81z = -66t + 66 z = (-66t + 66)/81

Таким образом, мы получили общее решение однородной системы:

x = (14y - 17z - 36t + 33)/6 y - свободная переменная z = (-66t + 66)/81 t - свободная переменная

Частное решение неоднородной системы будет иметь определенные значения для свободных переменных.