Question

Упростите выражение: 1) sin(a) cos(a) / ctg(a) - 12) 1+tg(a) / 1+ctg(a)3) tg(a) - 1 / ctg(a) - 14) ctg(a) + 1 / tg(a) + 1​

Answer 1

$3)\; \; \frac{tga-1}{ctga-1}=\frac{\frac{sina}{cosa}-1}{\frac{cosa}{sina}-1}=\frac{(sina-cosa)\cdot sina}{(cosa-sina)\cdot cosa}=\frac{sina}{-cosa}=-tga\\\\\\4)\; \; \frac{ctga+1}{tga+1}=\frac{\frac{cosa}{sina}+1}{\frac{sina}{cosa}+1}=\frac{(cosa+sina)\cdot cosa}{(sina+cosa)\cdot sina}=\frac{cosa}{sina}=ctga$

Answer 2

Давайте упростим каждое выражение по порядку:

1. sin(a) cos(a) / ctg(a) - 1

Для упрощения этого выражения воспользуемся определениями тригонометрических функций:

sin(a) = 1 / csc(a) cos(a) = 1 / sec(a) ctg(a) = 1 / tan(a)

Заменим в исходном выражении sin(a) и cos(a) на соответствующие значения:

(1 / csc(a)) * (1 / sec(a)) / (1 / tan(a)) - 1

После упрощения получим:

tan(a) / (csc(a) * sec(a)) - 1

Дальше можно применить тригонометрические тождества:

csc(a) * sec(a) = 1 / (sin(a) * cos(a)) = 1 / (1 / tan(a)) = tan(a)

Подставим это обратно в выражение:

tan(a) / tan(a) - 1

Избавимся от дроби, разделив каждый член на tan(a):

1 - 1 = 0

Таким образом, упрощенное выражение равно 0.

2. (1 + tg(a)) / (1 + ctg(a))

Для упрощения этого выражения можно умножить числитель и знаменатель на (1 - tg(a)):

[(1 + tg(a)) * (1 - tg(a))] / [(1 + ctg(a)) * (1 - tg(a))]

Применим тригонометрические тождества:

tg(a) * (1 - tg(a)) = tg(a) - tg^2(a) = tg(a) - (1 - ctg^2(a)) = tg(a) - 1 + ctg^2(a)

ctg(a) * (1 - tg(a)) = ctg(a) - ctg(a) * tg(a) = ctg(a) - 1 + ctg^2(a)

Подставим эти значения обратно в выражение:

[(1 + tg(a)) * (1 - tg(a))] / [(1 + ctg(a)) * (1 - tg(a))] = [(1 + tg(a)) - (tg(a) - 1 + ctg^2(a))] / [(1 + ctg(a)) - (tg(a) - 1 + ctg^2(a))]

В числителе и знаменателе сократятся соответствующие члены:

[(1 + tg(a)) - (tg(a) - 1 + ctg^2(a))] / [(1 + ctg(a)) - (tg(a) - 1 + ctg^2(a))] = 2 / 2 = 1

Таким образом, упрощенное выражение равно 1.

3. (tg(a) - 1) / (ctg(a) - 1)

Чтобы упростить это выражение, можем использовать определения тригонометрических функций:

tg(a) = sin(a) / cos(a) ctg(a) = cos(a) / sin(a)

Подставим их в исходное выражение:

[(sin(a) / cos(a)) - 1] / [(cos(a) / sin(a)) - 1]

Упростим числитель и знаменатель:

[(sin(a) - cos(a)) / cos(a)] / [(cos(a) - sin(a)) / sin(a)]

Разделим числитель на знаменатель и упростим:

[(sin(a) - cos(a)) / cos(a)] * [sin(a) / (cos(a) - sin(a))]

После сокращения соответствующих членов получим:

sin(a) / cos(a)

Известно, что sin(a) / cos(a) = tg(a), поэтому упрощенное выражение равно tg(a).

4. (ctg(a) + 1) / (tg(a) + 1)

Для упрощения данного выражения воспользуемся определениями тригонометрических функций:

ctg(a) = cos(a) / sin(a) tg(a) = sin(a) / cos(a)

Подставим их в исходное выражение:

[(cos(a) / sin(a)) + 1] / [(sin(a) / cos(a)) + 1]

Упростим числитель и знаменатель:

[(cos(a) + sin(a)) / sin(a)] / [(sin(a) + cos(a)) / cos(a)]

Разделим числитель на знаменатель и упростим:

[(cos(a) + sin(a)) / sin(a)] * [cos(a) / (sin(a) + cos(a))]

После сокращения соответствующих членов получим:

cos(a) / sin(a)

Известно, что cos(a) / sin(a) = ctg(a), поэтому упрощенное выражение равно ctg(a).

Таким образом, упрощенные выражения для каждого из четырех пунктов следующие:

1. 0
2. 1
3. tg(a)
4. ctg(a)