Question

Срочно (9a^2+2)(2b^2+1)≥24ab

Answer 1

Если a>=0  и b>=0 верно неравенство

a+b>=2*√ab

9a^2+2>= 2*√(2*9*a^2) = 6*√2 *a

2b^2+1>=2*√(2b^2) =  2*√2*b

Переумножая эти неравенства получаем

(9a^2+2)(2b^2+1) >= 6*√2*a *2*√2 *b =24*a*b

(9a^2+2)(2b^2+1)≥24ab  

Что и требовалось доказать

Примечание :   если  a<0 и  b<0  ,  задача эквивалентна a>0 и b >0 ,  тк  a*b > 0 ( произведение двух отрицательных положительно)       a^2  и b^2  так же положительны .  Если a и b разных знаков ,  то левая часть положительна ,  а правая отрицательна . В  этом случае неравенство выполняется автоматически.

Answer 2

Давайте решим это неравенство:

(9a^2 + 2)(2b^2 + 1) ≥ 24ab

Раскроем скобки:

18a^2b^2 + 9a^2 + 4b^2 + 2 ≥ 24ab

Приравняем неравенство к нулю:

18a^2b^2 + 9a^2 + 4b^2 + 2 - 24ab ≥ 0

Теперь рассмотрим данное неравенство как квадратное относительно переменной a:

18a^2b^2 + (9 - 24b) a^2 + 4b^2 - 2 ≥ 0

Для того чтобы неравенство выполнялось, дискриминант должен быть меньше или равен нулю:

D = (9 - 24b)^2 - 4 * 18b^2 * (4b^2 - 2) ≤ 0

Раскроем скобки:

D = 81 - 432b + 576b^2 - 144b^2 + 72 ≤ 0

D = -72b^2 - 432b + 153 ≤ 0

Приравняем неравенство к нулю:

-72b^2 - 432b + 153 = 0

Решим это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:

D = b^2 - 2ac = (-432)^2 - 4 * (-72) * 153 = 186624 - 44172 = 142452

D > 0, значит, уравнение имеет два корня:

b1 = (-(-432) + sqrt(142452)) / (2 * (-72)) ≈ 0.689

b2 = (-(-432) - sqrt(142452)) / (2 * (-72)) ≈ -9.689

Таким образом, неравенство (9a^2 + 2)(2b^2 + 1) ≥ 24ab выполняется, если a — любое число, а b принадлежит промежутку (-∞, -9.689] ∪ [0.689, +∞).