Question

А) Решите уравнение: 24×4^(x-0,5)-11×2^(x+1)+6=0 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-1;1]

Answer 1

24×4^(x-0,5)-11×2^(x+1)+6=0

24×2^2(x-0,5)-11×2*2^x+6=0

24×2^2(x-0,5)-11×2*2^x+6=0

24×2^(2x-1)-11×2*2^x+6=0

12×2^2x - 11×2*2^x+6=0

6*2^2x - 11*2^x+3=0

2^x = t > 0

6t^2 - 11t + 3 = 0

D = 11^2 - 4*3*6 = 121 -  72 = 49

t12 = (11 +- 7)/12 = 3/2   1/3

t1 = 1/3

2^x = 1/3

x = log2  1/3    не принадлежит [-1  1]   2^x возрастающая 2^-1 = 1/2   2^1 = 2   1/3 ∉ [1/2, 2]

2^x = 3/2

x = log2 3/2  принадлежит [-1  1] 2^x возрастающая 2^-1 = 1/2   2^1 = 2   3/2 ∈  [1/2, 2]

Answer 2

Ответ:

Решаем с помощью преобразований и замены для получения квадратного уравнения. Далее оцениваем сверху и снизу

Answer 3

Для решения данного уравнения, можно использовать метод замены переменной. Для удобства, введем новую переменную: y = 2^(x-0.5).

а) Заменим переменную y в уравнении и решим его: 24y^2 - 11y + 6 = 0

Чтобы решить это квадратное уравнение, используем формулу дискриминанта: D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4(24)(6) = 121 - 576 = -455

Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, уравнение 24×4^(x-0,5)-11×2^(x+1)+6=0 не имеет решений в действительных числах.

б) Чтобы найти все корни уравнения в промежутке [-1;1], необходимо исследовать знак выражения 24×4^(x-0,5)-11×2^(x+1)+6 в этом промежутке.

Рассмотрим отдельно каждое слагаемое: 24×4^(x-0,5) > 0, так как 24 и 4^(x-0,5) положительные при любых значениях x. -11×2^(x+1) < 0, так как -11 и 2^(x+1) имеют противоположные знаки при x в промежутке [-1;1]. 6 > 0, так как 6 положительное число.

Таким образом, в промежутке [-1;1] выражение 24×4^(x-0,5)-11×2^(x+1)+6 всегда положительное, и следовательно, уравнение не имеет корней в этом промежутке.