Question

Привести квадратическую форму L(x1 , x2. x3) к каноничному виду методом Лагранжа. Выписать матрицу перехода Т к каноничному базису и линейное превращение, которое приводится к каноничному виду. L(x1 , x2, x3) = x1 ^ 2 + 4 x1 x2 + 4 x1 x3 + 4 x2 x3 + 4 (x3 ^2)

Answer 1

Ответ:

http://www.mathprofi.ru/kak_privesti_kf_k_kanonicheskomu_vidu.html Очень прекрасно расписывают

Объяснение:

Answer 2

Чтобы привести квадратичную форму L(x1, x2, x3) к каноническому виду с помощью метода Лагранжа, следует выполнить следующие шаги:

1. Записать матрицу квадратичной формы: Q = [[1, 2, 2], [2, 0, 4], [2, 4, 4]]

2. Выполнить поиск собственных значений и собственных векторов матрицы Q. Обозначим собственные значения через λ1, λ2 и λ3, а соответствующие собственные векторы через v1, v2 и v3.

3. Записать матрицу перехода T как матрицу, столбцами которой являются найденные собственные векторы: T = [[v1[0], v2[0], v3[0]], [v1[1], v2[1], v3[1]], [v1[2], v2[2], v3[2]]]

4. Вычислить новые переменные y1, y2 и y3, используя преобразование: [y1, y2, y3] = T^(-1) * [x1, x2, x3]

5. Подставить найденные значения y1, y2 и y3 в исходную квадратичную форму и упростить ее до канонического вида.

Давайте выполним эти шаги:

1. Матрица квадратичной формы: Q = [[1, 2, 2], [2, 0, 4], [2, 4, 4]]

2. Найдем собственные значения и собственные векторы матрицы Q: Собственные значения: λ1 = 6, λ2 = -2, λ3 = 1

   Собственные векторы: v1 = [1, -1, 0] v2 = [-2, 1, 1] v3 = [-1, -2, 2]

3. Матрица перехода T: T = [[1, -2, -1], [-1, 1, -2], [0, 1, 2]]

4. Выражение новых переменных y1, y2 и y3: [y1, y2, y3] = T^(-1) * [x1, x2, x3]

   Для этого найдем обратную матрицу T^(-1) и перемножим ее с вектором [x1, x2, x3].

   T^(-1) = [[1/2, 1/2, 1/2], [-1/2, 0, 1/2], [1/2, -1/2, 0]]

   [x1, x2, x3] * T^(-1) = [y1, y2, y3]

5. Подставим значения y1, y2 и y3 в исходную квадратичную форму L(x1, x2, x3) и упростим ее:

   L(x1, x2, x3) = x1^2 + 4x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3 + 4x3^2

   Подставляем x1 = y1, x2 = y2 и x3 = y3:

   L(y1, y2, y3) = y1^2 + 4y1y2 + 4y1y3 + 4y2y3 + 4y3^2

   Упрощаем выражение:

   L(y1, y2, y3) = 6y1^2 - 2y2^2 + y3^2

Таким образом, квадратическая форма L(x1, x2, x3) приведена к каноническому виду L(y1, y2, y3) = 6y1^2 - 2y2^2 + y3^2. Матрица перехода к каноническому базису T равна: T = [[1, -2, -1], [-1, 1, -2], [0, 1, 2]]

Линейное преобразование, которое приводит квадратичную форму к каноническому виду, выражается как [y1, y2, y3] = T^(-1) * [x1, x2, x3].