Question

Методом Лагранжа привести квадратичную форму f(x1,x2)=–2x1^2+6x2^2–8x1x2 к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).

Answer 1

Как-то так будет. Успехов в учебе!

Answer 2

Для приведения квадратичной формы каноническому виду с помощью метода Лагранжа необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записываем квадратичную форму f(x1, x2) в матричном виде: F = [f(x1, x2)] = [–2x1^2 + 6x2^2 – 8x1x2].

2. Составляем матрицу вторых производных: H = [∂^2f/∂x1^2, ∂^2f/∂x1∂x2; ∂^2f/∂x2∂x1, ∂^2f/∂x2^2] = [-4, -8; -8, 12].

3. Находим собственные значения матрицы H, решая уравнение det(H - λI) = 0, где I - единичная матрица: |H - λI| = |[-4 - λ, -8; -8, 12 - λ]| = (-4 - λ)(12 - λ) - (-8)(-8) = λ^2 - 8λ + 16 = (λ - 4)^2 = 0.

   Из этого уравнения видно, что собственное значение λ = 4 имеет кратность 2.

4. Находим собственные векторы, соответствующие собственному значению λ = 4: Для λ = 4 система уравнений (H - λI)v = 0 имеет вид: [-8, -8; -8, 8]v = 0.

   Из первого уравнения получаем -8v1 - 8v2 = 0, что приводит к соотношению v1 = -v2. Принимаем v2 = t (произвольный параметр), тогда v1 = -t.

   Таким образом, собственные векторы, соответствующие λ = 4, имеют вид: v = [v1, v2] = [-t, t], где t - произвольный параметр.

5. Применяем преобразование координат x = Pz, где x = [x1, x2], z = [z1, z2] - новые координаты, а матрица P состоит из собственных векторов: P = [v1, v2] = [-t, t].

   Теперь мы имеем новую квадратичную форму g(z1, z2), где z = [z1, z2]: g(z1, z2) = f(Pz) = f([-t, t]z) = f(-tz1, tz2) = -2(-tz1)^2 + 6(tz2)^2 - 8(-tz1)(tz2).

6. Упрощаем полученное выражение: g(z1, z2) = -2t^2z1^