Question

Обчислити суму нескінченної геометричної 2-4/3+8/9-16/27...​

Answer 1

$2-\dfrac{4}{3}+\dfrac{8}{9}-\dfrac{16}{27}+...~~\boxed{=}$

Сумма $-\dfrac{4}{3}+\dfrac{8}{9}-\dfrac{16}{27}+...$ это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $b_1=-\dfrac{4}{3}$ и знаменателем $q=-\dfrac{2}{3}$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляем по формуле $S=\dfrac{b_1}{1-q}$. Следовательно,

$\boxed{=}~ 2+\dfrac{-\dfrac{4}{3}}{1+\dfrac{2}{3}}=2+\dfrac{-4}{3+2}=2-\dfrac{4}{5}=1{,}2$

Answer 2

Даний ряд є геометричною прогресією з першим членом (a) рівним 2 і знаменником (r) рівним -4/3.

Формула для суми нескінченної геометричної прогресії, де |r| < 1, є:

S = a / (1 - r),

де S - сума ряду, a - перший член, r - знаменник.

В нашому випадку, a = 2 і r = -4/3. Переконаймося, що |r| < 1:

|r| = |-4/3| = 4/3 < 1.

Тепер можемо обчислити суму ряду:

S = 2 / (1 - (-4/3)).

Зважаючи на знак мінус перед знаменником, замінимо від'ємний знак у знаменнику на додатній:

S = 2 / (1 + 4/3).

Знаменник можна скоротити:

S = 2 / (3/3 + 4/3) = 2 / (7/3) = 2 * 3/7 = 6/7.

Отже, сума даної нескінченної геометричної прогресії дорівнює 6/7.