Question

Изобразите графики функций y=x³ и y=∛x Графически решите уравнение x³=∛x

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

y=x³

х: 0  1   2   -1  -2

у: 0  1   8   -1  -8

y=∛x

х: 0  1   8   -1  -8

у: 0  1   2   -1  -2

Answer 2

Для изображения графиков функций y = x³ и y = ∛x, давайте сначала построим таблицы значений и затем нарисуем графики.

Таблица значений для y = x³:

x	y
-3	-27
-2	-8
-1	-1
0	0
1	1
2	8
3	27

Таблица значений для y = ∛x:

x	y
-27	-3
-8	-2
-1	-1
0	0
1	1
8	2
27	3

Теперь давайте нарисуем графики функций на одном графике:

Представим график y = x³ красным цветом, а график y = ∛x синим цветом.

pythonCopy code
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-3, 3, 100)
y1 = x**3
y2 = np.cbrt(x)

plt.plot(x, y1, label='y = x³', color='red')
plt.plot(x, y2, label='y = ∛x', color='blue')

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Графики функций y = x³ и y = ∛x')
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5, linestyle='--')
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5, linestyle='--')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

На графике вы увидите два графика: красный - это функция y = x³, а синий - функция y = ∛x.

Теперь давайте графически решим уравнение x³ = ∛x, то есть найдем точки их пересечения на графике.

По графику мы можем видеть, что точка пересечения лежит примерно в окрестности точки (1, 1). Давайте найдем точное значение, решив уравнение аналитически:

x³ = ∛x

Возведем обе части уравнения в куб:

x^(3 * 3) = x

x^9 = x

Теперь приведем все к одной стороне уравнения:

x^9 - x = 0

Факторизуем:

x (x^8 - 1) = 0

Теперь решим два уравнения:

1. x = 0
2. x^8 - 1 = 0

Для второго уравнения найдем корни:

x^8 = 1

x = 1, -1 (восемь различных корней, так как возможны комплексные значения)

Таким образом, у уравнения x³ = ∛x есть три решения: x = 0, x = 1 и x = -1.

Вернемся к графику и проверим эти значения:

pythonCopy code
x_values = [0, 1, -1]
y_values = [0, 1, -1]

plt.plot(x, y1, label='y = x³', color='red')
plt.plot(x, y2, label='y = ∛x', color='blue')
plt.scatter(x_values, y_values, color='green', label='Точки пересечения')

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Графики функций y = x³ и y = ∛x')
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5, linestyle='--')
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5, linestyle='--')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

На графике будут выделены точки пересечения красными кружками:

• Точка (0, 0) пересекает обе функции.
• Точка (1, 1) пересекает обе функции.
• Точка (-1, -1) пересекает обе функции.

Графические решения совпадают с аналитическими: x = 0, x = 1 и x = -1.