Question

Исследовать на экстремум функцию с помощью 1 и 2 производной y=2x³+9x²+12x-2​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

y'=6x^2-18x+12,   6x^2-18x+12=0,   x^2-3x+2=0,  корни ур-я  x=1 и x=2,

на числ. прямой отмечаем точки  1 и 2 и знаки производной,

 +      1     -     2   + , поизводная меняет в т.1 знак с (+) на (-), х=1 max,  в т. 2 с (-) на (+) , х=2 min,  чтобы найти значения в точках экстремума надо подставить эти значения в функцию и подсчитать

Answer 2

Чтобы исследовать функцию на экстремумы, нам нужно найти ее первую и вторую производные, а затем проанализировать их значения.

Дана функция: y = 2x³ + 9x² + 12x - 2

Шаг 1: Найдем первую производную функции y по x: y' = d/dx (2x³ + 9x² + 12x - 2)

Для этого возьмем производную каждого члена функции по отдельности и суммируем их: y' = 6x² + 18x + 12

Шаг 2: Теперь найдем вторую производную функции y по x: y'' = d/dx (6x² + 18x + 12)

Производная каждого члена функции равна: y'' = 12x + 18

Шаг 3: Решим уравнение для первой производной, чтобы найти критические точки (точки, где первая производная равна нулю или не существует):

6x² + 18x + 12 = 0

Вынесем общий множитель 6: 6(x² + 3x + 2) = 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение: x² + 3x + 2 = 0

Разложим его на множители: (x + 1)(x + 2) = 0

Из этого получаем два решения: x + 1 = 0 => x = -1 x + 2 = 0 => x = -2

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = -1 и x = -2.

Шаг 4: Анализируем знаки первой и второй производной в интервалах между и вокруг критических точек, чтобы определить характер экстремума.

Интервал (-∞, -2): Подставим вторую производную в этот интервал: y'' = 12x + 18

Подставим x = -3 в y'': y'' = 12(-3) + 18 y'' = -6

Таким образом, в интервале (-∞, -2) вторая производная отрицательна (y'' < 0), что означает, что функция выпукла вниз.

Интервал (-2, -1): Подставим вторую производную в этот интервал: y'' = 12x + 18

Подставим x = -1.5 в y'': y'' = 12(-1.5) + 18 y'' = -9

Таким образом, в интервале (-2, -1) вторая производная также отрицательна (y'' < 0), что означает, что функция выпукла вниз.

Интервал (-1, +∞): Подставим вторую производную в этот интервал: y'' = 12x + 18

Подставим x = 0 в y'': y'' = 12(0) + 18 y'' = 18

Таким образом, в интервале (-1, +∞) вторая производная положительна (y'' > 0), что означает, что функция выпукла вверх.

Шаг 5: Определим экстремумы, используя критические точки и характер второй производной.

При x = -2 функция изменяет свой характер с выпуклого вниз на выпуклый вверх, следовательно, у нас есть локальный минимум в точке (-2, f(-2)).

При x = -1 функция изменяет свой характер с выпуклого вверх на выпуклый вниз, следовательно, у нас есть локальный максимум в точке (-1, f(-1)).

Таким образом, функция y = 2x³ + 9x² + 12x - 2 имеет локальный минимум в точке (-2, f(-2)) и локальный максимум в точке (-1, f(-1)).