Question

Найдите, при каких значениях x и y выражение (2x−3y−3)2+(2x−2y−5)2 достигает своего наименьшего значения. В ответе укажите сумму полученных числовых значений x и y.

Answer 1

между прочим, квадрат не бывает отрицательным

значит, минимальное значение при нулевых квадратах

система:

2x−3y−3=0

2x−2y−5=0

из второго вычтем первое:

y-2=0

у=2

подставим в первое:

2х-3*2-3=0

2х=9

х=4,5

4,5+2=6,5

ответ: 6,5

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться методом наименьших квадратов или методом частных производных.

Для начала, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

(2x - 3y - 3)² + (2x - 2y - 5)² = 4x² - 12xy + 9y² - 12x + 18y + 9 + 4x² - 8xy + 4y² - 20x + 20y + 25

Сгруппируем слагаемые, содержащие одинаковые степени переменных:

8x² - 20x + 4y² - 20y + 34 - 20xy

Теперь найдем частные производные по переменным x и y и приравняем их к нулю, чтобы найти экстремум функции:

∂/∂x (8x² - 20x + 4y² - 20y + 34 - 20xy) = 16x - 20 - 20y = 0

∂/∂y (8x² - 20x + 4y² - 20y + 34 - 20xy) = 8y - 20 - 20x = 0

Решая эти два уравнения с двумя неизвестными, найдем значения x и y:

16x - 20 - 20y = 0 => 16x = 20 + 20y => x = (20 + 20y)/16

8y - 20 - 20x = 0 => 8y = 20 + 20x => y = (20 + 20x)/8

Подставим значение x из второго уравнения в первое:

x = (20 + 20(20 + 20x)/8)/16

Решая это уравнение, найдем значение x:

x = 7/3

Теперь подставим найденное значение x во второе уравнение:

y = (20 + 20x)/8 = (20 + 20(7/3))/8 = 19/3

Таким образом, минимальное значение выражения достигается при x = 7/3 и y = 19/3.

Сумма числовых значений x и y равна 7/3 + 19/3 = 26/3.