Question

1)Упростить: (sin2t+sint)/ (1+cos2t+cost). 2) Известно, что cos α = 7/25 и 0< α <π/2 . Найти cos α/2. 3)Решите уравнения: cos 2x+4sin x-3=0 Заранее спасибо!

Answer 1

Решение, ответы и пр. см. во вложении

Answer 2

1. Упростим выражение (sin^2(t) + sin(t)) / (1 + cos^2(t) + cos(t)):

Для упрощения, вспомним тригонометрические тождества:

• sin^2(x) = (1 - cos(2x)) / 2
• cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2
• sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x)

Применяем эти тождества:

(sin^2(t) + sin(t)) / (1 + cos^2(t) + cos(t)) = ((1 - cos(2t)) / 2 + sin(t)) / ((1 + cos(2t)) / 2 + cos(t)) = ((1 - cos(2t)) / 2 + 2 * sin(t) * cos(t)) / ((1 + cos(2t)) / 2 + cos(t))

Для дальнейшего упрощения можно избавиться от дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 2:

= (2 * (1 - cos(2t)) + 4 * sin(t) * cos(t)) / (2 * (1 + cos(2t)) + 2 * cos(t))

= (2 - 2cos(2t) + 4sin(t)cos(t)) / (2 + 2cos(2t) + 2cos(t))

Теперь разделим числитель и знаменатель на 2:

= (1 - cos(2t) + 2sin(t)cos(t)) / (1 + cos(2t) + cos(t))

Это упрощенное выражение для данной функции.

2. Найдем значение cos(α/2), используя половинные тригонометрические формулы:

cos(α/2) = ±sqrt((1 + cos(α)) / 2)

Известно, что cos(α) = 7/25 (положительное значение, так как 0 < α < π/2):

cos(α/2) = sqrt((1 + 7/25) / 2) cos(α/2) = sqrt((32/25) / 2) cos(α/2) = sqrt(32/50) cos(α/2) = sqrt(16/25) cos(α/2) = 4/5

Таким образом, cos(α/2) = 4/5.

3. Решим уравнение cos(2x) + 4sin(x) - 3 = 0:

Для упрощения, заменим sin(x) и cos(x) на другие переменные, например, t и u:

sin(x) = t cos(x) = u

Теперь уравнение примет вид:

cos(2x) + 4sin(x) - 3 = 0 cos(2x) + 4t - 3 = 0

Используем тригонометрические тождества, чтобы выразить cos(2x) через t и u:

cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = u^2 - t^2

Теперь подставим это обратно в уравнение:

u^2 - t^2 + 4t - 3 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно переменной t. Давайте решим его:

u^2 - t^2 + 4t - 3 = 0

Так как нам дано, что 0 < α < π/2, то 0 < x < π/2, что означает, что 0 < t < 1 (так как sin(π/2) = 1).

Теперь решим уравнение:

t^2 - 4t + 3 - u^2 = 0

(t - 3)(t - 1) - u^2 = 0

Так как 0 < t < 1, решение для t должно быть t = 1.

Теперь найдем u (cos(x)):

u = cos(x) = 7/25

Таким образом, решение уравнения sin(x) + 4cos(x) - 3 = 0:

sin(x) + 4cos(x) - 3 = 1 + 4 * (7/25) - 3 = 1.28

Однако, возможно я ошибся в интерпретации условия или упущенных деталях. Пожалуйста, уточните, если что-то не так или предоставьте дополнительные детали, чтобы я смог помочь вам более точно.