Question

Найдите реальную часть комплексного числа (1+i)^30

Answer 1

Рассмотрим число $z=1+i$. Запишем это число в тригонометрической форме.

Найдем модуль:

$|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

Тогда:

$z=1+i=\sqrt{2} \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}i \right)$

Значит, $\cos\alpha =\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin\alpha =\dfrac{1}{\sqrt{2}}$. Соответственно аргумент числа $\alpha =\dfrac{\pi }{4}$.

Тогда:

$z=1+i=\sqrt{2} \left(\cos\dfrac{\pi }{4} +i\sin\dfrac{\pi }{4} \right)$

Возведем число в степень по формуле Муавра:

$z^{30}=(\sqrt{2})^{30} \left(\cos\left(30\cdot\dfrac{\pi }{4}\right) +i\sin\left(30\cdot\dfrac{\pi }{4}\right)\right)=2^{15} \left(\cos\dfrac{15\pi }{2} +i\sin\dfrac{15\pi }{2}\right)=\\=2^{15} \left(\cos\left(-\dfrac{\pi }{2}\right) +i\sin\left(-\dfrac{\pi }{2}\right) \right)=2^{15} \left(0 +i\cdot(-1)\right)=0-2^{15} i$

Реальная (действительная) часть числа:

$\mathrm{Re}(z^{30})=0$

Ответ: 0

Answer 2

Для нахождения реальной части комплексного числа (1+i)^30, мы сначала возведем (1+i) в 30-ю степень, а затем найдем реальную часть результата.

Для удобства, давайте сначала найдем (1+i)^30 и затем извлечем его реальную часть.

(1 + i)^30

Для упрощения вычислений, заметим, что (1 + i) - это комплексное число с модулем sqrt(2) и аргументом pi/4.

Тогда (1 + i)^30 = (sqrt(2) * cis(pi/4))^30, где cis(pi/4) - это тригонометрическая форма комплексного числа (1 + i).

Теперь воспользуемся свойствами возведения в степень комплексного числа в тригонометрической форме:

(r * cis(theta))^n = r^n * cis(n * theta),

где r - модуль комплексного числа, theta - его аргумент, а n - степень.

(1 + i)^30 = (sqrt(2) * cis(pi/4))^30 = sqrt(2)^30 * cis(30 * pi/4)

sqrt(2)^30 = 2^15 = 32,768.

Также заметим, что cis(30 * pi/4) = cis(15 * pi/2) = cis(7.5 * pi), так как единичная окружность имеет период 2 * pi, и мы можем применить его несколько раз, чтобы получить тот же аргумент.

Теперь, cis(7.5 * pi) - это комплексное число с аргументом 7.5 * pi и модулем 1 (единичной окружности).

Таким образом, (1 + i)^30 = 32,768 * cis(7.5 * pi).

Теперь находим реальную часть:

Реальная часть = 32,768 * cos(7.5 * pi).

Теперь вычислим:

cos(7.5 * pi) = cos(3/2 * pi) = cos(270 градусов) = 0.

Таким образом, реальная часть комплексного числа (1 + i)^30 равна 0.