Question

Дано (2x^3-4x+3)^2+(x^5-x+1) a) степень многочлена; d)старший коэффициент и свободный член; c) сумму коэффициентов много члена; b) сумму коэффициентов при четных степенях. ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА

Answer 1

(2x³-4x+2)² + (x⁵-x+1)=

= (2x³)² +(-4x)²+2² +2*2x³(-4x)+2(-4x)*2+2*2x³*2 +x⁵-x+1 =

= 4x⁶+16x²+4-16x⁴-16x+8x³+x⁵-x+1 =

= 4x⁶+x⁵-16x⁴+8x³+16x²-17x+5

а) Степень многочлена равна 6 (это наибольшая из степеней одночленов, входящих в данный многочлен);

б) Старший коэффициент многочлена равен 4 (это коэффициент одночлена, имеющего наибольшую степень), свободный член равен 5;

в) Сумма коэффициентов многочлена равна 2 (это значение многочлена при х=1):

(2*1³-4*1+3)²+(1⁵-1+1) = (2-4+3)² +1 = 1²+1 =1+1=2;

г) Сумма коэффициентов многочлена при чётных степенях равна 4:

4-16+16 = 4

Answer 2

Давайте разберемся с каждым пунктом:

Дано: $P(x) = (2x^3-4x+3)^2 + (x^5-x+1)$

a) Степень многочлена: Степень многочлена определяется как наивысшая степень переменной x в данном многочлене. В данном случае, у нас есть два члена: $(2x^3-4x+3)^2$ и $x^5-x+1$. Степень первого члена равна $3$, а степень второго члена равна $5$. Так как мы складываем эти два члена, то степень полученного многочлена будет равна наивысшей степени из них, то есть $5$.

b) Сумма коэффициентов при четных степенях: Чтобы найти сумму коэффициентов при четных степенях, нам нужно сложить коэффициенты $x^0$ (свободный член), $x^2$, $x^4$, и так далее, до наивысшей четной степени многочлена.

Для первого члена $(2x^3-4x+3)^2$ нет четных степеней, потому что вторая степень четного числа всегда четная, и в этом случае будет $x^6$ и более высокие четные степени, но их нет в данном многочлене.

Для второго члена $x^5-x+1$ у нас есть только одно слагаемое с четной степенью $x^0$ (это свободный член, так как $x^0 = 1$).

Таким образом, сумма коэффициентов при четных степенях равна $1$.

c) Сумма коэффициентов многочлена: Чтобы найти сумму всех коэффициентов многочлена, нужно сложить все числовые коэффициенты при каждой степени $x$.

Для первого члена $(2x^3-4x+3)^2$: Сумма коэффициентов равна $2 + (-4) + 3 = 1$.

Для второго члена $x^5-x+1$: Сумма коэффициентов равна $1 + (-1) + 1 = 1$.

Теперь, чтобы найти сумму коэффициентов всего многочлена, просто сложим результаты обоих членов: $1 + 1 = 2$.

d) Старший коэффициент и свободный член: Старший коэффициент - это коэффициент при самой высокой степени $x$, то есть коэффициент при $x^5$ во втором члене $x^5-x+1$. В данном случае старший коэффициент равен $1$.

Свободный член - это коэффициент при $x^0$ (т.е. само число без переменной $x$), то есть свободный член первого члена $(2x^3-4x+3)^2$ и свободный член второго члена $x^5-x+1$. В данном случае оба свободных члена равны $3$ и $1$ соответственно.

Таким образом, старший коэффициент равен $1$ и свободный член равен $3$ (от первого члена) и $1$ (от второго члена).