Question

Докажите что заданное неравенство выполняется при любых значениях переменных: а)13x^2-42xy+49y^2>=0 b)-4x^2+20xy-28y^2<=0

Answer 1

Ответ во вложении объяснение:

Answer 2

Для доказательства данных неравенств, а) и б), нужно использовать методы аналитической геометрии, а именно метод зависимости квадратичной формы от знака дискриминанта.

a) Докажем, что неравенство $13x^2 - 42xy + 49y^2 \geq 0$ верно для любых значений переменных $x$ и $y$.

1. Найдем дискриминант квадратичной формы $D = b^2 - 4ac$, где $a = 13$, $b = -42$, $c = 49$. $D = (-42)^2 - 4 \cdot 13 \cdot 49 = 1764 - 2548 = -784$.

2. Дискриминант $D < 0$, что означает, что квадратичная форма не меняет знак на плоскости $(x, y)$.

3. Так как дискриминант $D < 0$, и коэффициент $a = 13 > 0$, то квадратичная форма $13x^2 - 42xy + 49y^2$ всегда будет принимать значения больше или равные нулю. Таким образом, неравенство $13x^2 - 42xy + 49y^2 \geq 0$ выполняется при любых значениях переменных $x$ и $y$.

b) Докажем, что неравенство $-4x^2 + 20xy - 28y^2 \leq 0$ верно для любых значений переменных $x$ и $y$.

1. Найдем дискриминант квадратичной формы $D = b^2 - 4ac$, где $a = -4$, $b = 20$, $c = -28$. $D = (20)^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-28) = 400 - 448 = -48$.

2. Дискриминант $D < 0$, что означает, что квадратичная форма не меняет знак на плоскости $(x, y)$.

3. Так как дискриминант $D < 0$, и коэффициент $a = -4 < 0$, то квадратичная форма $-4x^2 + 20xy - 28y^2$ всегда будет принимать значения меньше или равные нулю. Таким образом, неравенство $-4x^2 + 20xy - 28y^2 \leq 0$ выполняется при любых значениях переменных $x$ и $y$.

Таким образом, мы доказали, что оба неравенства выполняются для любых значений переменных $x$ и $y$.